树中每对节点之间的距离

Question

给一棵树。如何在不使用大小为n * n的2D矩阵的情况下找到树中每对节点之间的距离。我知道O（n ^ 2）复杂度的解决方案。

Answer 1

如果您希望能够通过快速预处理快速回答distance(u, v)形式的查询，则可以使用LCA。有根树中两个顶点的LCA或最低共同祖先是一个顶点，它是两个顶点的祖先，并且是所有共同祖先中最低的顶点。在LCA(u, v)预处理时间的对数时间内找到n log n的算法并不是很复杂。如果需要，我可以描述它。

因此，您的问题可能会解决如下问题。首先，修复树的根。然后进行上述预处理以便能够找到LCA。然后，假设h[v]是从v到根的距离（可以在所有顶点的线性时间内预先计算），然后distance(u, v) = h[u] + h[v] - 2 * h[LCA(u, v)]。

Answer 2

正如我在评论中已经提到的，假设树中每对顶点(v1,v2,distance)的输出应为v1,v2 - 请注意，这些顶点有n*(n-1)对。由于n*(n-1)位于O(n^2) - 并且它是输出的大小，它不能比O(n^2) 更好，因此您的算法是最佳的，就其而言大O符号。