节点数和高度之间的关系

Question

我正在阅读算法设计手册。作者指出树的高度是：

h = log n, 
where 
h is height 
n = number of leaf nodes
log is log to base d, where d is the maximum number of children allowed per node.

然后他接着说，一个完美平衡的二叉搜索树的高度将是：

h = log n

我想知道第二个语句中的n是否表示“叶节点的总数”或“节点的总数”。

这提出了一个更大的问题，节点总数和完美平衡的二叉搜索树的高度之间是否存在数学关系？

Answer 1

当然，n = 2^h其中h, n分别表示树的高度和节点数。

校对草图：

完美平衡的二叉树有

• 每个内部节点的实际分支因子为2。
• 每个叶节点的根路径长度相等。

关于完美平衡二叉树中的叶节点：

因为叶子的数量是节点的数量减去完美平衡的二叉树中的节点数量，其高度递减1，所以叶子的数量是所有节点数量的一半（确切地说，是{的一半} {1}}）。

所以n+1只是变化1，这通常不会在复杂性方面产生任何实际影响。该声明可以通过记住它与将单个节点树的高度定义为0（标准）或1（异常，但可能很方便区分它与空树）相同的变化来说明。

Answer 2

如果你谈论所有节点或只是叶子节点，这并不重要：要么被上面和下面的边界绑定，要么乘以常数因子。在完美平衡的二叉树中，完整级别上的节点数是高于1的所有节点的数量。

Answer 3

在完整的二叉树中，节点数（n）和树高（h）在下面有如下关系。

n = 2 ^（h + 1）-1

这是树的所有节点