Agda：如何获得依赖类型的值？

Question

我最近问了这个问题： An agda proposition used in the type -- what does it mean? 并且收到了关于如何使类型隐式并获得真正的编译时错误的非常深思熟虑的答案。

但是，我仍然不清楚如何使用依赖类型创建值。

考虑：

div : (n : N) -> even n -> N
div zero p = zero
div (succ (succ n)) p= succ (div n p)
div (succ zero) ()

其中N是自然数，甚至是以下命题。

even : N -> Set
even zero = \top
even (succ zero) = \bot
even (succ (succ n)) = even n
data \bot : Set where
record \top : Set where

假设我想编写如下函数：

f : N -> N
f n = if even n then div n else div (succ n)

我不知道如何以我想要的方式做这样的事情......在我看来，最好的办法就是有一个证明（不是（偶数n））\到偶数（succ n）。我真的不知道如何在agda中表达这一点。我能够写

g : (n:N) -> (even n) -> (even (succ n)) -> N
g n p q = if evenB n then (div n p) else (div (succ n) q)

由此，我可以做以下事情：

g 5 _ _ 

并评估为正常形式......以获得答案。如果我想写f，我可以做

f n = g n ? ?

我得到f n = g n {} 1 {} 2其中？1 =偶​​数n，并且？2 =偶数（succ n）。然后，我可以像f五那样做，并评估为正常形式。我真的不明白为什么这是有效的...有没有办法告诉agda有关以这种方式定义的f的更多信息。我能否确定如果？1失败？2会成功，所以告诉agda评估f总是有意义的吗？

我将g解释为一个函数，它取n个数，证明n是偶数，证明（succ n）是偶数，并给出一个数。 （这是阅读本文的正确方法吗？或者任何人都可以建议更好的方式来阅读本文？）我真的很想完全（或更准确地）理解上述类型如何检查。它是否使用感应 - 它是否连接（偶数B n）与p：偶数n ??等等我现在很困惑，因为它知道

if evenB n then (div n q) else (whatever)
if evenB n then div (succ n) q else div n p

不正确。第一个我理解为什么 - q是succ n，所以它不匹配。但是第二次失败了，原因更加神秘，而且似乎Agda比我想象的更强大......

如果我能弄明白该怎么做（如果有意义的话），这是我真正喜欢的第一步。

g : (n : N) -> (even n) -> N
g n p = if evenB n then (div n p) else (div (succ n) (odd p))

奇数p是证明即使n是荒谬的证据，那么succ n是偶数。我想，这需要我能够处理依赖类型的值。

最终，我希望能够写出这样的东西：

g : N -> N
g n = 
  let p = proofthat n is even
  in
      if evenB n then div n p else (div (succ n) (odd p))

或者那些东西。甚至

g : N -> N
g n = if evenB n then let p = proofThatEven n in div n p else let q = proofThatEven succ n in div n q

我真的想知道如何制作一个与依赖类型相对应的证明，以便我可以在程序中使用它。有什么建议吗？

Answer 1

功能和主张

编码作为命题和函数之间存在着重要的区别。让我们看一下_+_实现为数字和函数的关系。

当然，功能是微不足道的：

_+_ : (m n : ℕ) → ℕ
zero  + n = n
suc m + n = suc (m + n)

_+_作为命题是关于数字的三元关系。对于数字m，n和o，它应该恰好适用于m + n = o：

data _+_≡_ : ℕ → ℕ → ℕ → Set where
  zero : ∀ {  n  }             → zero  + n ≡ n
  suc  : ∀ {m n o} → m + n ≡ o → suc m + n ≡ suc o

我们可以举例说明2 + 3 ≡ 5：

proof : 2 + 3 ≡ 5
proof = suc (suc zero)

现在，函数对于允许的内容更严格：它必须通过终止检查器，必须有唯一的结果，所有情况都必须被覆盖等等;作为回报，他们给我们可计算性。命题允许冗余，不一致，部分覆盖等等，但要实际显示2 + 3 = 5，程序员必须参与。

这当然是你if的一个显示阻止：你需要能够计算它的第一个参数！

是否均匀？

但是有希望：我们可以证明你的even命题对于每个自然数都是可计算的（我应该说是可判定的）。我们如何表明这一点？通过编写一个函数来决定它。

我们需要对命题进行否定：

data ⊥ : Set where

¬_ : Set → Set
¬ A = A → ⊥

接下来，我们将记下一个数据类型，告诉我们这个建议是否成立：

data Dec (P : Set) : Set where
  yes :   P → Dec P
  no  : ¬ P → Dec P

最后，我们将定义even可判定的含义：

EvenDecidable : Set
EvenDecidable = ∀ n → Dec (even n)

这表示：even是可判定的，如果对于任何自然数n，我们可以显示even n或¬ (even n)。让我们证明这确实是真的：

isEven : EvenDecidable
isEven zero          = yes _
isEven (suc zero)    = no λ ()
isEven (suc (suc n)) = isEven n

从Dec到Bool

现在，我们有：

data Bool : Set where
  true false : Bool

if_then_else_ : {A : Set} → Bool → A → A → A
if true  then t else _ = t
if false then _ else f = f

和一个函数isEven，它返回Dec，而不是Bool。我们可以从Dec转到Bool，只需忘记内部的证明（⌊可以通过\clL，⌋通过\clR输入）：

⌊_⌋ : {P : Set} → Dec P → Bool
⌊ yes _ ⌋ = true
⌊ no  _ ⌋ = false

最后，我们可以在isEven中使用if：

if ⌊ isEven n ⌋ then ? else ?

导致矛盾

接下来，您的g功能：您需要even n和even (suc n)的证明。这是行不通的，因为没有人可以给这两者。事实上，我们甚至可以使用这些来产生矛盾：

bad : ∀ n → even n → even (suc n) → ⊥
bad zero          p q = q
bad (suc zero)    p q = p
bad (suc (suc n)) p q = bad n p q

然而，两者

bad₂ : ∀ n → even n → even (suc n) → ℕ
bad₂ n p q = div (suc n) q

bad₃ : ∀ n → even n → even (suc n) → ℕ
bad₃ n p q = div n p

typecheck就好了，所以我不完全确定为什么第二个if出现问题。

全部放在一起

现在，我们将进入主要部分odd功能。如果我们知道该号码不是even，我们应该能够证明后续号码是even。我们将重用以前的否定。 agda-mode可以只用C-c C-a填充右侧：

odd : ∀ n → ¬ even n → even (suc n)
odd zero          p = p _
odd (suc zero)    p = _
odd (suc (suc n)) p = odd n p

现在我们有了编写g函数的所有要素：

g : ℕ → ℕ
g n = ?

我们将使用even函数询问该号码是否为isEven：

g : ℕ → ℕ
g n with isEven n
... | isItEven = ?

现在，我们将在isItEven上进行模式匹配，以找出结果：

g : ℕ → ℕ
g n with isEven n
... | yes e = ?
... | no  o = ?

e证明该数字为even，o证明它不是even（它的类型为¬ even n）。 e可以直接与div一起使用，o我们需要使用之前定义的odd函数：

g : ℕ → ℕ
g n with isEven n
... | yes e = div n e
... | no  o = div (suc n) (odd n o)

if Dec

但是，您无法仅使用if实现上述版本。 Bool eans没有附带任何其他信息;他们肯定没有我们需要的证据。我们可以编写适用于if而不是Dec的{​​{1}}变体。这使我们能够将相关证明分发到Bool和then分支。

else

请注意，两个分支实际上都是将证明作为其第一个参数的函数。

if-dec_then_else_ : {P A : Set} → Dec P → (P → A) → (¬ P → A) → A
if-dec yes p then t else _ = t  p
if-dec no ¬p then _ else f = f ¬p

我们甚至可以为此g : ℕ → ℕ g n = if-dec isEven n then (λ e → div n e) else (λ o → div (suc n) (odd n o)) 创建一个很好的语法规则;在这种情况下，它几乎没用：

if

什么是if-syntax = if-dec_then_else_ syntax if-syntax dec (λ yup → yupCase) (λ nope → nopeCase) = if-dec dec then[ yup ] yupCase else[ nope ] nopeCase g : ℕ → ℕ g n = if-dec isEven n then[ e ] div n e else[ o ] div (suc n) (odd n o) ？

现在，我注意到在前一个问题中链接的介绍的后面部分中提到了with构造。以下是它的工作原理：

有时您需要对中间表达式进行模式匹配，例如上面代码中的with。要在没有isEven的情况下执行此操作，您需要实际编写两个函数：

with

h₁ : (n : ℕ) → Dec (even n) → ℕ h₁ n (yes e) = div n e h₁ n (no o) = div (suc n) (odd n o) h₂ : ℕ → ℕ h₂ n = h₁ n (isEven n) 设置我们想要模式匹配的表达式，h₂进行实际的模式匹配。现在，像这样的中间表达式上的模式匹配是相当频繁的，所以Agda给了我们更紧凑的表示法。

h₁

因此，h : ℕ → ℕ h n with isEven n h n | yes e = div n e h n | no o = div (suc n) (odd n o) 的行为就好像它添加了一个我们可以模式匹配的额外参数。您甚至可以同时在多个表达式上使用with：

with

然后我们可以在i : ℕ → ℕ i n with isCool n | isBig n i n | cool | big = ? 和cool上进行模式匹配，就好像该函数有3个参数一样。现在，大部分时间原始左侧保持不变，就像之前的功能所示（在某些情况下它实际上可能不同，但我们现在不需要处理）。对于这些情况，我们得到一个方便的快捷方式（特别是当左侧很长时）：

big