Question

我知道旋转，缩放，平移等的变换矩阵。我也知道剪切变换的矩阵。现在，我需要剪切矩阵 -

[1 Sx 0]
[0 1  0]
[0 0  1]

以其他上述转换的组合形式。尝试搜索，尝试头脑风暴，但无法罢工！谢谢！

Answer 1

剪切角theta的x剪切操作减少为旋转和缩放如下：

（a）逆时针旋转theta/2。

（b）使用x-scaling factor = sin(theta/2)和y-scaling factor = cos(theta/2)进行缩放。

（c）顺时针旋转45 degree。

（d）使用x-scaling factor = sqrt(2)/sin(theta)和y-scaling factor= sqrt(2)缩放。

Answer 2

是的，可以完成，旋转后跟非均匀缩放和反向旋转。您可以在第三个问题http://www.cs.cmu.edu/~djames/15-462/Fall03/assts/15-462-Fall03-wrAssign1-answer.pdf中找到详细信息。您也可以尝试以下openGL代码。它将矩形旋转45度，然后在x轴上缩放。然后在-26度旋转，即atan（0.5）。 0.5来自于在x方向上缩放后找到x轴和一侧之间的角度。

glRotatef（-26.0,0.0,0.0,1.0）;

glScalef（2,1,1）;

glRotatef（45.0,0.0,0.0,1.0）;

glRectf（0,0,25.0,25.0）;

Answer 3

剪切是一种基本的矩阵运算，所以虽然你可以将它们表达为“其他矩阵运算的组合”，但这样做真的很奇怪。剪刀采用两种形式：

| 1 V |    | 1 0 |
| 0 1 | ,  | V 1 |

而旋转矩阵涉及更多;使用旋转表达剪切的想法表明你还没有真正写出这些东西，看看你需要什么，所以让我们来看看这个。旋转矩阵的形式为：

| cos -sin |
| sin  cos |

它可以由三个特定剪切矩阵的序列组成，R = Sx x Sy x Sx：

| cos(a) -sin(a) |   |     1      0 |   | 1  sin(a) |   |     1      0 |
|                | = |              | x |           | x |              |
| sin(a)  cos(a) |   | -tan(a/2)  1 |   | 0    1    |   | -tan(a/2)  1 |

现在，我们可以做一些简单的矩阵操作来获得Sy。首先是左乘：

      R = Sx x Sy x Sx
Sx⁻¹ x R = Sx⁻¹ x Sy x Sx
Sx⁻¹ x R = I x Sy x Sx
Sx⁻¹ x R = Sy x Sx

然后右移：

Sx⁻¹ x R x Sx⁻¹ = Sy x Sx x Sx⁻¹
Sx⁻¹ x R x Sx⁻¹ = Sy x I
Sx⁻¹ x R x Sx⁻¹ = Sy

作为一个微不足道的重写，一把剪刀现在是两个剪刀和一个旋转。

但更重要的问题是：为什么你需要将剪切矩阵表示为其他东西？它已经是一个基本的矩阵形式，你在做什么样的计算环境，或者你想做什么，它需要你表达一个基本变换作为一种更复杂，更慢的计算方式？ =）

Answer 4

在3D图形中，我们经常使用具有16个有用元素的4 x 4矩阵。身份4 x 4矩阵如下：

在这16个元素之间，有6个不同的剪切系数：

shear XY
shear XZ
shear YX
shear YZ
shear ZX
shear ZY

在Shear Matrix中，它们如下：

因为该矩阵中根本没有Rotation coefficients ，所以六个Shear coefficients和三个Scale coefficients可以使X旋转3D对象，Y和Z轴使用魔术三角法（sin和cos）。

以下是使用Shear和Scale元素如何围绕其Z轴旋转3D对象（CCW）的示例：

使用“剪切”和“缩放”元素查看3种不同的旋转模式：

剪切矩阵作为基本转换的组合？

4 个答案: