Question

我对依赖类型语言感兴趣。有限数字对我来说似乎非常有用。例如，安全地索引固定大小的数组。但这个定义对我来说并不清楚。

Idris中有限数据的数据类型如下:(并且在Agda中可能类似）

data FiniteNum : Natural -> Type where
  FZero : FiniteNum (Succ k)
  FSucc : FiniteNum k -> FiniteNum (Succ k)

似乎有效：

exampleFN : FiniteNum (Succ (Succ Zero))
exampleFN = FSucc FZero -- typechecks
-- exampleFN = FSucc (FSucc FZero)  -- won't typecheck

但这是如何运作的？ k是什么意思？为什么类型检查器接受第一个实现并拒绝第二个？

Answer 1

将索引视为可以由Fin n表示的任何数字的上限。例如，Fin 4包含小于4的所有自然数。这是一个数据声明：

data Fin : ℕ → Set where

该定义与此有何关系？自然数的定义有两部分：zero和suc;对于Fin，我们会调用fzero和fsuc。

使用我们的上限解释，fzero可以给出任何上限，只要它不是zero（0≮0）。我们如何表示绑定可以是zero以外的任何其他内容？我们可以通过应用suc：

来强制执行此操作

fzero : {k : ℕ} → Fin (suc k)

这正是我们所需要的：没有人能够以fzero类型的方式编写Fin 0。

现在fsuc案例：我们有一个上限为k的数字，我们想要创建一个后继者。关于上限我们能说些什么？肯定会增加至少一个：

fsuc : {k : ℕ} → Fin k → Fin (suc k)

作为练习，请说服自己所有小于n的数字都可以用Fin n表示（只有一种可能的方式）。

类型检查器如何接受并拒绝另一个？在这种情况下，它是简单的统一。我们来看看这段代码：

test : Fin (suc (suc zero))
test = ?

当我们写fsuc时，Agda必须弄清k的值。要做到这一点，需要查看fsuc构造函数：它构造一个Fin (suc k)类型的值，我们需要suc k = suc (suc zero);通过统一这两个，我们得到k = suc zero。所以接下来：

test = fsuc ?

现在，fsuc后面的表达式（由?表示， hole ）的表达式为Fin (suc zero)（自k = suc zero起）。当我们填写fzero时，Agda会尝试将suc zero与suc k₂统一起来，这当然会成功解决k₂ = zero。

如果我们决定投入另一个fsuc：

test = fsuc (fsuc ?)

然后使用与上面相同的统一，我们得到洞的类型必须是Fin zero。到目前为止，这种类型检查很好。但是，当您尝试将fzero填入其中时，Agda必须将zero与suc k₃统一起来 - 无论k₃，suc的价值如何永远不会是zero，因此失败并且您会收到类型错误。

有限数的另一种表示（可以说是不太适合使用）是一对自然数，并证明它小于界限。

open import Data.Product

Fin' : ℕ → Set
Fin' n = Σ ℕ (λ k → k < n)

原始Fin可以被视为Fin'的版本，其中证明直接烘焙到构造函数中。

Answer 2

简短的回答是FiniteNum Zero类型为空，因为两个构造函数都返回以非零自然数索引的FiniteNum。现在尝试回答以下问题：FiniteNum（Succ Zero）有多少个元素？他们看起来怎么样？重复2,3,4 ...