Question

我有三个3D点，例如p1(x1,y1,z1)，p2(x2,y2,z2)，p3(x3,y3,z3)。我有另一点，但我只知道x，y这一点的值，如p4(x4,y4,Z)，其中Z是我想要计算的值。

我确信p4(x4,y4)点位于p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)由delaunay三角测量法检查形成的三角形内。如何计算点Z的{{1}}值？我喜欢在C编程中实现它。实际上我正在尝试在MATLAB中实现p4。

由于

Answer 1

p1，p2，p3定义了一架飞机。您可以通过点和法线来表示它。例如，P=p1，N=(p2-P) x (p3-P)（即N = p1p2和p1p3的叉积。）

现在p4处于同一平面，它满足平面方程：

  (p4-P) · N = 0  %// dot product
⇒ (x4-x1)*N.x + (y4-y1)*N.y + (z4-z1)*N.z = 0

重新排列：

z4 = z1 - ((x4-x1)*N.x + (y4-y1)*N.y)/ N.z

没有线性系统可以解决，你只需要一个交叉产品。

Answer 2

您可以在P1P2P3载体的基础上表达P4坐标。

x4 = x1 + A * (x2 - x1) + B * (x3 - x1)
y4 = y1 + A * (y2 - y1) + B * (y3 - y1)

这是易于求解的线性方程组。你必须找到A和B系数，然后用它们来计算z坐标

z4 = z1 + A * (z2 - z1) + B * (z3 - z1)

Answer 3

这是为了支持MBo和Konstantin的答案。请不要接受这个问题，而是接受其中一个问题。

这是在MATLAB中实现解决方案的方法：

%// Your known 3 points
p1 = [ 1 10  0]';
p2 = [-1 10 10]';
p3 = [ 0  0 10]';

%// your 4th target point
p4 = [0 5  NaN]';

%// Difference matrix/vector
A = [p2-p1  p3-p1];
b = p4-p1;

%// Compute solution
p4(end) = p1(end) + A(3,:)*(A(1:2,:)\b(1:2));

现在，在C ++中，仅包含相关eigen库的事实相当惊人地破坏了可执行文件的大小。对于这个简单的2x2系统，eigen能够完成的任何过度杀伤。

所以我不会诉诸eigen，除非你有大量的其他线性代数事情要做。它是一个简单的2x2系统，很容易手动解决。

只是KISS它;见DanielKO的回答：）

Answer 4

这里的数学问题是解决以下方程组

p1 + a * (p2 - p1) + b * (p3 - p1) = (x4, y4, z4)

或等效

 (x1,y1,z1) + a * (x2-x1, y2-y1, z2-z1) + b * (x3-x1, y3-y1, z3-z1) = (x4, y4, z4)

表示a，b和z4。

要在C / C ++中解决它，您可以实现高斯算法（另请参阅“数字食谱”一书，可在线获取），或使用线性代数库，例如Eigen或其他。< / p>

备注：无论点(x4, y4)是否位于三角形(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)内，方法都是相同的。

三维空间中三个三维点的线性插值

4 个答案: