矩阵功率和

Question

计算矩阵之和的最佳方法是什么，例如A ^ i + A ^（i + 1）+ A ^ i + 2 ........ A ^ n用于非常大的n？

我想到了两种可能的方式：

1）对A ^ i使用对数矩阵求幂（LME），然后乘以A计算后续矩阵。

问题：我没有真正利用LME算法，因为我只使用最低功耗!!

2）使用LME查找A ^ n并记忆中间计算。

问题：大n需要太多空间。

还有第三种方法吗？

Answer 1

请注意：

A + A^2 = A(I + A)
A + A^2 + A^3 = A(I + A) + A^3
A + A^2 + A^3 + A^4 = (A + A^2)(I + A^2)
                    = A(I + A)(I + A^2)

让

B(n) = A + ... + A^n

我们有：

B(1) = A
B(n) = B(n / 2) * (I + A^(n / 2)) if n is even
B(n) = B(n / 2) * (I + A^(n / 2)) + A^n if n is odd

因此，您将执行对数步数，而无需计算反转。

虽然直接实施会产生(log n)^2因素，但您可以通过在计算log n时计算A的权力，将其保持在B。

Answer 2

您可以使用几何矩阵系列的n之和等于：

S_n = (I-A)^(-1) (I-A^n)

并且，由于你不是从0开始，你可以简单地计算：

result = S_n - S_i

其中i是您的起始索引。

Answer 3

为什么不对矩阵进行对角化以使乘法便宜。

编辑：

只要矩阵是非奇异的，你就应该能够找到矩阵A的对角线表示D，使得A = PDP ^ -1，其中P由A的特征向量组成，D具有A的特征值对角线。得到D ^ m = D * D ^（m-1）是便宜的，因为它只是沿对角线乘以（即与矩阵的维数相同的乘法数）

获得S（m）= S（m-1）+ D ^ m也很便宜，因为你只是添加了对角元素。

然后你有

A ^ i + A ^（i + 1）+ A ^ i + 2 ........ A ^ n = P（D ^ i + D ^（i + 1）+ D ^ i + 2 ........ D ^ n）P ^ -1 = P（S（n） - S（i））P ^ -1

唯一困难的是找到P和P ^ -1