Question

我有这个奇异矩阵（我称之为A）

-3a          1         0    0
 3a    -2a - 1         2    0
 0      2a        -a-b-2    3
 0           0     a+b     -3

我正在尝试解决Ax = 0，这样x中元素的总和就是1.我想用a和b求解x。我知道如何手动执行此操作（使用高斯消除来根据第四个组件编写所有组件，然后设置第四个组件以使解决方案规范化）。但有没有办法以计算方式做到这一点？我可以在Python，Mathematica或R中做到这一点。（或者MATLAB，但我认为在MATLAB中没有办法做到这一点。）

我正在复制的代码是通过在矩阵中添加第五行来实现的，

1    1    1    1

然后使用QR分解找到最小二乘解。但是，我认为我不能这样做，因为我没有a和b的值，我想用a和b来解决这个问题。

Answer 1

In[1]:= A = {{-3a,1,0,0}, {3a,-2a-1,2,0}, {0,2a,-a-b-2,3}, {0,0,a+b,-3}};
x = {p, q, r, s};
sol = Reduce[A.x==0 && p+q+r+s==1 && Det[A]==0, x, Backsubstitution->True]

Out[3]= (1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b) != 0 && 
p == 1/(1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b) && 
q == (3*a)/(1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b) && 
r == (3*a^2)/(1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b) && 
s == (a^3 + a^2*b)/(1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b)

In[4]:= x=x/.ToRules[sol (* Watch out for that denominator!!! *)];
Simplify[A.x]

Out[5]= {0, 0, 0, 0}

In[6]:= Simplify[Total[x]]

Out[6]= 1

Answer 2

有一种方法可以在MATLAB中完成，但我无法进一步发展。

syms a b
A = [ -3*a,         1,           0,  0;
       3*a, - 2*a - 1,           2,  0;
         0,       2*a, - a - b - 2,  3;
         0,         0,       a + b, -3;
         1,         1,           1,  1];
x = solve(A,[0 0 0 0 1]')

我收到了以下警告：

Warning: 20 equations in 2 variables. 
Warning: Explicit solution could not be found.

用奇异矩阵计算求解方程组

2 个答案: