两个字符串序列中最长的公共子字符串

Question

刚刚学习了最常见的子串算法，我对这个问题的特定变体感到好奇。它描述如下 - ：

  

给定两个非空的字符串序列，X =（x1，x2，x3，....，x（n））和Y =（y1，y2，y3，...，y（m）） ，其中x（i）和y（i）是字符串，在X中找到最长字符串，它是所有 Y字符串的子字符串。

我有一个函数substring(x, y)，它返回布尔值，描述x是否是y中的子字符串。显然，我必须连接Y中的所有字符串以形成一个大字符串，比如用B表示。我想到了以下方法 - ：

• 天真：首先连接X中的所有字符串以形成字符串A（n）。应用子串（A（n），B） - 这包括在字符串A（n）中向后迭代。如果为true，则算法在此结束并返回A（n） - 或者其中包含的任何部分包含在所述子字符串中。如果没有，继续申请（A（n - 1），B），依此类推。如果X中不存在这样的字符串，则返回空字符串。

显然，这种方法会占用相当多的运行时间，具体取决于实现方式。假设我使用迭代方法，在每次迭代时，我将不得不在该级别/索引处向后迭代String，然后应用substring（）。这将需要至少两个循环，O(size(B) * maxlength(x1, x2,...))最坏情况时间，或更多取决于substring（）（纠正我，如果错误）。

我想到了基于后缀树/数组的第二种方法。

• 广义后缀树：我在O(maxlength(y1, y2,...)（？）中使用Ukkonen算法构建了序列Y的GST。我对后缀树木缺乏了解。我相信后缀树方法会大大减少查找子字符串的运行时间（以空间为代价），但我不知道如何实现该操作。

如果有更好的方法，我很想知道。

编辑：道歉，如果我似乎放弃了这个话题。

如果我不是使用GST，而是使用某些标准数据结构，例如堆栈，队列，集合，堆，优先级队列等，该怎么办？序列X必须先排序，最大的字符串首先是自然的。如果我将它存储在字符串数组中，我将不得不使用诸如mergesort / quicksort之类的排序算法。目标是尽可能获得最有效的运行时间。

我是否可以将X存储在一个自动对其元素进行排序的结构中？最大堆怎么样？

看起来后缀树是以这种方式查找子串的最佳方式。我可以使用其他任何数据结构吗？

Answer 1

首先，将最长字符串的数组X命令为更短。这样，X中作为所有Y字符串的子字符串的第一个字符串就是解决方案。

多处理器算法是解决使用所有Y字符串快速测试每个X字符串的问题的最佳方法。

Answer 2

这是我对你的问题的解决方案的想法;我不确定所有内容，所以如果您认为值得付出努力，欢迎提出改进意见。

首先计算Y中所有字符串的所有常见子串。首先取两个字符串，然后构建一个包含所有公共子串的树。然后，对于Y中的每个其他字符串，从地图中删除此字符串中未出现的每个子字符串。复杂度与Y中的字符串数量呈线性关系，但我无法弄清楚树中可能有多少元素，因此我无法估计最终的复杂性。

然后找到X中最长的字符串，它是树中一个子字符串。

必须做一些改进，以保持树尽可能小，例如只保留不是其他子串的子串。

Answer 3

写作| Y |对于集合Y中的字符串数量，以及len（Y）的总长度：

1. 将Y中的字符串处理为generalized suffix tree（例如，使用Ukkonen's algorithm）。假设一个恒定大小的字母表，花费时间O（len（Y））。

2. 根据该节点标识的字符串是否属于Y中的所有字符串，标记后缀树中的每个节点。花费时间O（| Y | len（Y））。

3. 对于X中的每个字符串，在后缀树中查找并查看该节点是否被标记为属于Y中的所有字符串。输出最长的此类标记字符串。需要时间O（len（X））。

总时间：O（| Y | len（Y））+ O（len（X））。