求出递归T（n）= T（n / 2）+ T（n / 4）+ T（n / 8）？

Question

我正在尝试解决重复T(n) = T(n/8) + T(n/2) + T(n/4)。

我认为首先尝试使用递归树方法，然后将其用作我对替换方法的猜测是个好主意。

对于树，由于没有在非叶级别进行任何工作，我认为我们可以忽略它，所以我试图想出叶子的上限，因为这是唯一相关的东西这里。

我认为树的高度是T(n/2)的最长路径，其高度为log2(n)。然后我假设树是完整的，所有级别都已填满（即我们有3T(n/2))，因此我们在每个级别都有3^i个节点，因此n^(log2(3))离开。{{1那么就是T(n)。

不幸的是，我认为这是一个不合理的上限，我想我已经让它有点太高了......关于如何解决这个问题的任何建议？

Answer 1

这里可以使用的一个技巧是根据另一个变量重写重复。我们假设你写n = 2 ^k 。然后复发简化为

  

T（2 ^k ）= T（2 ^k-3 ）+ T（2 ^k-2 ）+ T（2 < SUP> K-1 ）。

设S（k）= T（2 ^k ）。这意味着您可以将此重复重写为

  

S（k）= S（k-3）+ S（k-2）+ S（k-1）。

假设基本情况是S（0）= S（1）= S（2）= 1，只是为了简单起见。鉴于此，您可以使用各种方法来解决此问题。例如，annihilator method（链接的第5部分）在这里可以很好地解决这种重现，因为它是线性重复。如果你在这里使用消灭器方法，你就得到了

  

S（k） - S（k - 1） - S（k - 2） - S（k - 3）= 0

     

S（k + 3） - S（k + 2） - S（k + 1） - S（k）= 0

     

（E ³ - E ² - E - 1）S（k）= 0

如果你找到方程式E ³ - E ² - E - 1的根，那么你可以将重复的解作为这些的线性组合根源提升到k的力量。在这种情况下，事实证明重现is similar to that for the Tribonacci numbers，如果你解决了所有问题，你会发现复发解决了O（1.83929 ^k ）形式的东西。

现在，既然知道2 ^k = n，我们知道k = lg n。因此，复发解决了O（1.83929 ^{lg n} ）。我们让a = 1.83929。然后解决方案的形式为O（a ^{lg n} ）= O（a ^{（log _a n）/ log _a 2）} ）= O（n ^{1 / log _a 2} ）。这大约为O（n ^{0.87914 ......} ）。您的初始上限O（n ^{lg 3} ）= O（n ^{1.584962501 ......} ）明显弱于此。

希望这有帮助！

Answer 2

有一种比@template提出的更简单的方法。除了Master's定理之外，还有一个Akra-Bazzi method可以让你解决这种类型的再现：

这正是你所拥有的。因此，您的g(x) = 0，a1 = a2 = a3 = 1和b1 = 1/2，b2 = 1/4和b3= 1/8。所以现在你必须解决这个等式：1/2^p + 1/4^p + 1/8^p = 1。

解决它p约为0.879。您甚至不需要求解积分，因为它等于0。因此，您的总体复杂度为O(n^0.879)。