Question

我一直在寻找，但显然没有找到一种算法，它允许我插入已知沿曲线的x，y坐标列表，以便获得立方体的4个控制点bezier曲线吐出来。

更准确地说，我正在寻找一种算法，该算法将为我提供形成曲线所需的两个控制点，同时输入一系列离散点，包括确定曲线起点和终点的两个控制点。

谢谢！

编辑：好的，由于数学，一个老敌人，我需要要求最适合多项式函数的贝塞尔曲线。

Answer 1

所以我假设端点是固定的，然后你有许多（x，y）采样点，你想要用立方贝塞尔曲线。

您拥有的样本点数量将决定采取何种方法。让我们看看几个案例：

2分

2个样本点是最简单的情况。如果计算终点，那么总共可以得到4分。这是立方贝塞尔曲线中的CV数。要解决此问题，您需要两个采样点的参数（t）值。然后你有一个2个方程和2个点需要求解的系统，其中方程是你选择的t值的贝塞尔曲线的参数方程。

t值可以是您喜欢的任何值，但是通过使用1/3和2/3，或者查看相对距离或沿基线的相对距离，您将获得更好的结果，具体取决于您的数据。

1分

这类似于2分，但您没有足够的信息来唯一确定您的所有自由度。我建议的是拟合二次Bezier，然后提升度。我在this question中写了一个二次拟合的详细例子。

超过2分

在这种情况下，没有独特的解决方案。我使用了最小二乘近似，结果很好。步骤是：

为每个样本选择值
将您的方程组构建为矩阵
可选择添加整流罩或其他平滑功能
使用最小二乘解算器求解矩阵

在这个free cagd textbook第11章中对这些步骤有了很好的描述。它讨论了拟合b样条，但是一个三次贝塞尔曲线是一种b样条（结矢量是0,0,0），1,1,1并且有4分）。

Answer 2

假设你有一条曲线y = f（x）

要定义贝塞尔曲线，您需要4个点，例如： P1x，P1y，P2x，P2y，P3x，P3y和P4x和P4y

P1和P4你是曲线的起点/终点。 P2和P3是控制点。您已经知道曲线的起点和终点在哪里。你必须计算P2和P3。 x坐标P2x和P3x很简单，因为你只需选择曲线的t就可以选择它们，例如1/3和2/3。所以你有P2x和P3x 然后，您最终得到一个由两个方程和两个未知数（P2y和P3y）组成的系统。在完成一些数学运算后，你最终会得到类似的东西：

（我的f（x）是一个三次多项式，它也保证了我能够准确地拟合一条三次贝塞尔曲线。）

/**
    @params {Object} firstPoint = {x:...,y...}
    @params {Object} lastPoint = {x:...,y...}
    @params {Object} cubicPoly Definition of a cubic polynomial in the form  y=ax^3+bx^2+c. 
  Has a method EvaluateAt, which calculates y for a particular x

*/
var CalcBezierControlPoints = function(firstPoint, lastPoint, cubicPoly) {
    var xDiff = lastPoint.X - firstPoint.X;
    var x1 = firstPoint.X + xDiff / 3.0;
    var x2 = firstPoint.X + 2.0 * xDiff / 3.0;

    var y1 = cubicPoly.EvaluateAt(x1);
    var y2 = cubicPoly.EvaluateAt(x2);

    var f1 = 0.296296296296296296296; // (1-1/3)^3
    var f2 = 0.037037037037037037037; // (1-2/3)^3
    var f3 = 0.296296296296296296296; // (2/3)^3

    var b1 = y1 - firstPoint.Y * f1 - lastPoint.Y / 27.0;
    var b2 = y2 - firstPoint.Y * f2 - f3 * lastPoint.Y;

    var c1 = (-2 * b1 + b2) / -0.666666666666666666;
    var c2 = (b2 - 0.2222222222222 * c1) / 0.44444444444444444;

    var p2 = {};
    var p3 = {};
    p2.X = x1;
    p2.Y = c1;

    p3.X = x2;
    p3.Y = c2;

    return ([p2, p3]);
}

从沿该曲线的点导出贝塞尔曲线的控制点的算法？

2 个答案: