部分有序集（DAG）中的反链

Question

任何人都可以判断是否存在用于在部分有序集合中查找大小为k的反链的P时间算法？ （或DAG）

我在网上找到的所有资源都涉及找到最大的反链。

Answer 1

我认为问题的表述不够精确，因为有两个参数：

• k大小的antihain;
• n大小P;
的大小

有一个明确的算法，它是n中的多项式和k中的指数：

• 枚举k大小P的所有子集。使用某种格雷码可以获得O(1)中的每个子集。因此，成本明显与k子集的数量成比例，k子集是二项式系数choose(n, k)。因此，复杂性为O(n^k)。

• 对于每个子集，检查它是否为反链。假设你在O(1)中比较了poset的两个元素。您可以在O(k^2)。

中执行此操作

所以愚蠢的算法是O(k^2+n^k)的复杂性，它是n中的多项式。