Python：以数字方式查找积分的主值

Question

我正在使用python以数字方式求解积分：

其中 a（x）可以采用任何值; [-1; 1]中的正，负，内或外，eta是无穷小的正数。有一个第二外积分改变了（x）

的值

我正在尝试使用Sokhotski–Plemelj theorem解决此问题：

然而，这涉及确定原则值，我在python中找不到任何方法。我知道它是在Matlab中实现的，但是有没有人知道库或者在python中确定主值的其他方法（如果存在一个原则值）？

Answer 1

您可以使用sympy直接评估积分。它的实际部分是eta-> 0是主要值：

from sympy import *
x, y, eta = symbols('x y eta', real=True)
re(integrate(1/(x - y + I*eta), (x, -1, 1))).simplify().subs({eta: 0})
# -> log(Abs(-y + 1)/Abs(y + 1))

Matlab的符号工具箱int当然会给你相同的结果（我不知道Matlab中的其他相关工具 - 请指明你是否知道具体的工具）。

你问过一个主要值的数值计算。答案是，如果你只有一个函数f(y)，你的分析形式或行为你不知道，通常不可能用数字计算它们。你需要知道诸如被积函数的极点和它们的顺序之类的东西。

另一方面，如果您知道积分的格式为f(y) / (y - y_0)，scipy.integrate.quad可以为您计算主要值，例如：

import numpy as np
from scipy import integrate, special

# P \int_{-1}^1 dx 1/(x - wvar) * (1 + sin(x))
print(integrate.quad(lambda x: 1 + np.sin(x), -1, 1, weight='cauchy', wvar=0))
# -> (1.8921661407343657, 2.426947531830592e-13)

# Check against known result
print(2*special.sici(1)[0])
# -> 1.89216614073

有关详细信息，请参阅here。