最小骑士从一个方格移动到另一个方格

Question

是否有一个数学公式可用于计算无限2D网格中两点之间的最小骑士移动次数？我可以使用广度优先搜索来解决它，但是我们可以使用一个封闭形式的表达式吗？

谢谢！

Answer 1

我不认为有一个公式可以为所有点对产生最小的干扰。

但是对于某些特殊点而言。 设A，B为2D网格上的点，A = (0,0)和B = (x,y)以及dist(x,y)最小骑士移动次数。

首先，距离是对称的：

dist(x,y) = dist(-x,y) = dist(x,-y) = dist(-x,-y) = dist(y,x)

1. 案例：2x=y - ＆gt; dist(x,2x) = x
2. 案例：x = 0
   • 子案例1：y = 4k（k是自然数）
     - ＆GT; dist(x,y) = 2k
   • 子案例2：y = 4k+1或y = 4k+3
     - ＆GT; dist(x,y) = 2k + 3
   • 子案例3：y = 4k+2
     - ＆GT; dist(x,y) = 2k + 2
3. 案例：x = y
   • 子案例1：x = 3k（k是自然数）
     - ＆GT; dist(x,y) = 2k
   • 子案例2：x = 3k+1
     - ＆GT; dist(x,y) = 2k + 2
   • 子案例3：y = 3k+2
     - ＆GT; dist(x,y) = 2k + 4

如果B（0 <= x <= y）在任何情况下都不适合，那么至少你知道 dist(x,y) <= dist(x-k,y-2k) + dist(k,2k) = dist(0,y-2k) + k
和
dist(x,y) <= dist(x-z,y-z) + dist(z,z) = dist(0,y-z) + dist(z,z)

修改 我已经考虑了一点。我认为以下算法计算最小移动量（Maple Code）：

dist := proc(x,y)
  global d;
  local temp;

  if x < 0 then x:= -x; fi;
  if y < 0 then y:= -y; fi;
  if x > y then temp := x; x:= y; y:= temp; fi;

  if y = 2*x then return x; fi;
  if x = y then 
    if x mod 3 = 0 then return 2*(x/3); fi;
    if x mod 3 = 1 then return 2+2*(x-1)/3 fi;
    if x mod 3 = 1 then return 4+2*(x-2)/3 fi;
  fi;
  if x = 0 then
    if y mod 4 = 0 then return y/2; fi;
    if y mod 4 = 1 or y mod 4 = 3 then return 3+(y - (y mod 4))/2; fi;
    if y mod 4 = 2 then return 2+(y-2)/2; fi;
  fi;
  if y > 2*x then
    return dist(0,y-2*x) + dist(x,2*x);        
  else
    return dist(2*x-y,2*x-y) + dist(y-x,2*(y-x));
  fi;
end proc:

注意：这仅适用于无限的2D网格。

EDIT2：此（递归）算法在O(1)（时间和空间）中运行，因为它具有恒定数量的O(1)操作并且最多自调用一个时间。

EDIT3：如果A或B距离至少1行/列，我认为这对于有限的2D网格也是一个小问题来自至少一个边界。