如何通过迭代方法求解T（n）= T（n / 2）+ 2 ^ n的递归复杂度？

Question

我正试图找到上限和下限，可能是O（2 ^ n）

对于n <= 4 ，T（n）= 1

我知道一般的器官是：

T（n）= T（n / 2 ^（i + 1））+从i = 0到k的总和为2 ^（n / 2 ^ i）

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从这里我不知道如何继续..

Answer 1

您的符号存在一些问题。一般机关应该是：

T(n) = T(n/2^(i+1)) + sum from k=0 to i of 2^(n/2^k)

完成此步骤后，我们允许i = log(2, n) - 1，以便T(n/2^(i+1)) = T(1)。

因此，T(n) = T(1) + sum from k = 0 to (log(2, n) - 1) of 2^(n/2^k)。

请注意，sum from k = 0 to (log(2, n) - 1) of 2^(n/2^k)为2^n + 2^(n/2) + 2^(n/4) + ...，小于2^n + 2^(n-1) + 2^(n-2) + ...。但是，后一种东西是2^(n+1) - 1。所以以前的东西是2^n和2^(n+1)之间的东西。因此，总和为O(2^n)。

然后T(n) = O(2^n)。