Donald Knuth

Question

我们都知道0 ⁰是不确定的。

但， javascript 表示：

Math.pow(0, 0) === 1 // true

和 C ++ 说同样的事情：

pow(0, 0) == 1 // true

为什么？

我知道：

>Math.pow(0.001, 0.001)
0.9931160484209338

但为什么Math.pow(0, 0)不会抛出任何错误？或者NaN可能比1好。

Answer 1

在C ++ ~~The result of pow(0, 0)~~ 中，结果基本上是实现定义的行为，因为在数学上我们有一个矛盾的情况，其中N^0应始终为1但{{1}对于0^N，0应始终为N > 0，因此您对此结果也不应有数学上的期望。这篇Wolfram Alpha论坛帖子详细介绍了一些内容。

尽管pow(0,0)导致1对于许多应用程序非常有用，但在 IEC 60559浮点运算支持的部分中 Rationale for International Standard—Programming Languages—C状态仍然有用：< / p>

通常，C99会避免使用数值有用的NaN结果。 [...] pow（∞，0）和pow（0,0）的结果都是1，因为有些应用程序可以利用这个定义。例如，如果x（p）和y（p）是在p = a时变为零的任何解析函数，则当p接近时，等于exp（y * log（x））的pow（x，y）接近1一个。

更新C ++

正如leemes正确指出我最初链接到 pow 版 pow 的引用，而non-complex版本声称它是域错误 draft C++ standard回到draft C standard， C99 和 C11 在7.12.7.4 部分函数段 2 表示（强调我的）：

[...]如果x为零且y为零，则可能发生域错误。[...]

据我所知，这种行为是unspecified behavior绕回一段7.12.1 错误条件的处理说：

[...]如果输入参数在域外，则会发生域错误定义了数学函数。[...]在域错误中，函数返回一个实现定义的值;如果是整数表达式math_errhandling＆amp; MATH_ERRNO非零，整数表达式errno获取值EDOM; [...]

因此，如果存在域错误，那么这将是实现定义的行为，但在最新版本的gcc和clang中errno的值为0，因此这些编译器不是域错误。

更新Javascript

对于 Javascript 15.8 中的ECMAScript® Language Specification {em> x> y下的15.8.2.13 数据对象 在其他条件中表示：

如果y为+0，则结果为1，即使x为NaN。

Answer 2

In JavaScript Math.pow is defined as follows：

如果y为NaN，则结果为NaN。

如果y为+0，则结果为1，即使x为NaN。

如果y为-0，则结果为1，即使x为NaN。

如果x是NaN且y非零，则结果为NaN。

如果abs（x）> 1且y为+∞，则结果为+∞。

如果abs（x）> 1且y为-∞，则结果为+0。

如果abs（x）== 1且y为+∞，则结果为NaN。

如果abs（x）== 1且y为-∞，则结果为NaN。

如果abs（x）<1且y为+∞，则结果为+0。

如果abs（x）<1且y为-∞，则结果为+∞。

如果x为+∞且y> 0，则结果为+∞。

如果x为+∞且y <0，则结果为+0。

如果x是-∞且y> 0且y是奇数，则结果为-∞。

如果x为-∞且y> 0且y不是奇数，则结果为+∞。

如果x为-∞且y <0且y为奇数，则结果为-0。

如果x为-∞且y <0且y不是奇数，则结果为+0。

如果x为+0且y> 0，则结果为+0。

如果x为+0且y <0，则结果为+∞。

如果x是-0且y> 0且y是奇数，则结果为-0。

如果x是-0且y> 0且y不是奇数，则结果为+0。

如果x是-0且y <0且y是奇数，则结果为-∞。

如果x为-0且y <0且y不是奇数，则结果为+∞。

如果x <0且x是有限的且y是有限的且y不是整数，则结果为NaN。

_强调我的

作为一般规则，任何语言的本机函数都应按照语言规范中的描述进行操作。有时，这包括明确的“未定义行为”，由实现者决定结果应该是什么，但这不是未定义行为的情况。

Answer 3

将其定义为1，0或将其undefined保留为惯例。由于以下定义，定义 pow(0,0) 广泛传播：

mathematical power definition

ECMA-Script文档说明了以下pow(x,y)：

如果y为+0，则结果为1，即使x为NaN。

如果y为-0，则结果为1，即使x为NaN。

[http://www.ecma-international.org/ecma-262/5.1/#sec-15.8.2.13]

Answer 4

根据维基百科：

在大多数不涉及指数连续性的设置中，将0 ⁰解释为1简化了公式，并且无需定理中的特殊情况。

有几种可能的方法可以对每个0**0的利弊进行处理（请参阅Wikipedia进行扩展讨论）。

IEEE 754-2008浮点标准推荐三种不同的功能：

pow将0**0视为1。这是最早定义的版本。如果幂是精确整数，则结果与pown相同，否则结果与powr相同（除了一些例外情况）。
pown将0 ** 0视为1.功率必须是精确整数。该值定义为负基数;例如，pown(−3,5)是−243。
powr将0 ** 0视为NaN（非数字 - 未定义）。对于像powr(−3,2)这样基数小于零的情况，该值也是NaN。该值由exp（power'×log（base））定义。

Answer 5

Donald Knuth

1992年，我们通过以下方式解决了这场辩论：

enter image description here

在他的论文Two Notes on Notation中进一步详细说明了。

基本上，虽然对于所有函数f(x)/g(x)和f(x)，我们没有g(x)的限制，但它仍然使组合数更加简单，以定义{{1}然后，只需在需要考虑0^0=1等函数的少数几个地方制作特殊情况，这无论如何都很奇怪。毕竟0^x更频繁出现。

我对这个主题的最佳讨论（Knuth论文除外）是：

Answer 6

如果您想知道f(a)在f无法直接计算a时应该向f提供什么值，那么x时a的限制为x^y 1}}倾向于1。

如果是x，当y和0倾向于x^x时，通常的限制会趋向于1，尤其是x倾向于0当{{1}}倾向于{{1}}时，{{1}}。

请参阅http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.3-5.shtml

Answer 7

C语言定义说（7.12.7.4/2）：

如果x为零且y为零，则可能发生域错误。

它还说（7.12.1 / 2）：

在域错误上，该函数返回一个实现定义的值;如果是整数表达式math_errhandling＆amp; MATH_ERRNO非零，整数表达式errno获取值EDOM;如果是整数表达式math_errhandling＆amp; MATH_ERREXCEPT非零，引发''无效''浮点异常。

默认情况下，math_errhandling的值为MATH_ERRNO，因此请检查errno中的值EDOM。

Answer 8

我想不同意之前的一些答案'断言这是一个约定或方便的问题（涵盖各种定理的一些特殊情况等）0 ^ 0被定义为1而不是0。

指数实际上并不适合我们的其他数学符号，因此我们所学的定义留下了混淆的空间。接近它的一种稍微不同的方式是说a ^ b（或exp（a，b），如果你愿意的话）返回值乘法等价乘以其他东西 a，重复b次。

当我们将5乘以4,2次时，得到80.我们将乘以5乘以16.所以4 ^ 2 = 16。

当你将14乘以0,0次时，我们留下14.我们将它乘以1.因此，0 ^ 0 = 1.

这种思路也可能有助于澄清消极和分数指数。 4 ^（ - 2）是第16，因为'负乘法'是除法 - 我们除以4两次。

a ^（1/2）是根（a），因为乘以a的根是乘法工作的一半乘以它自己 - 你必须做两次乘以4 = 4 ^ 1 =（4 ^（1/2））^ 2

Answer 9

为了理解你需要解决微积分：

使用泰勒系列将x^x扩展到零左右，我们得到：

因此，要了解x为零时的限制，我们需要找出第二个词x log(x)发生了什么，因为其他词与x log(x)的某些词汇成正比。

我们需要使用转换：

现在，在转换之后，我们可以使用L'Hôpital's rule，其中声明：

区分我们得到的转变：

因此，当x接近0时，我们计算出术语log(x)*x接近0。很容易看出其他连续的术语也接近零，甚至比第二学期更快。

因此，在x=0点，系列变为1 + 0 + 0 + 0 + ...，因此等于1.

为什么Math.pow（0,0）=== 1？

9 个答案:

Donald Knuth