Question

我正在寻找一种有效的方法来迭代由a^2+b^2定义的无限非递减序列，其中a，b都是正整数。我在这里迭代的意思是，给定现有的n条目列表，算法应该有效（我希望O(log(m))，其中m=a^2+b^2）找到下一个条目。 / p>

此列表的开头是：1 ^ 2 + 1 ^ 2 = 2,1 ^ 2 + 2 ^ 2 = 5,2 ^ 2 + 2 ^ 2 = 8,1 ^ 2 + 3 ^ 2 = 10， 2 ^ 2 + 3 ^ 2 = 13,1 ^ 2 + 4 ^ 2 = 17，...

这是用于生成这些条目的python代码（前100个是正确的）：

xs=[]
for i in range(1, 100):
    for j in range(i, 100):
        xs.append((i**2+j**2, i, j))
xs.sort()

我查看了列表的开头，看不到任何模式。有人知道这样做的算法吗？

[edit]经过一些搜索，我发现Cornacchia's algorithm需要计算二次余数。然而，我仍然希望有更好的东西，因为我们已经知道迭代过程中的先前数字。

Answer 1

isSumOfSquares函数返回True如果 n 可以写为大于零的平方和，False则基于Edsgar的算法Dijkstra的1976年着作编程学科： x 从 n 的平方根向下扫描，当正方形的总和太大时，它会减少，并且 y 从1向上扫过，当正方形的总和太小时会增加。

from math import sqrt

def isSumOfSquares(n):
    x, y = int(sqrt(n)), 1
    while x >= y:
        if x*x + y*y < n: y = y + 1
        elif x*x + y*y > n: x = x - 1
        else: return True
    return False

filter(isSumOfSquares, range(1,100))

这将返回列表[2,5,8,10,13,17,18,20,25,26,29,32,34,37,40,41,45,50,52,53,58， 61,65,68,72,73,74,80,82,85,89,90,97,98]。我在my blog讨论了一个类似的问题。

Answer 2

在考虑这个问题时，我假设了两件事。第一个是对于任何a ^ 2 + b ^ 2 a> b。这只是因为平凡（a，b）与（b，a）在排序中的位置相同，因此您不需要同时考虑这两种情况。

如果允许a或b为0，则解释也会更容易。这些情况可以很容易地在真实算法中取出。

我的想法是你应该能够根据m=a+b做一些事情，并说对于给定的m，最小的平方和是m^2/2（当它们相等时）和最大的是(m-1)^2，两者之间有明显的顺序。然后，您可以在这些之间进行某种合并排序以查找下一个。

我的想法是，如果您查看m=a+b，那么对于任何给定的m，您可以为所有a+b=m创建一个有序的平方和列表。原因是我们知道，当a或b为0时，总和是最大值，a=b=m/2时最小值。这意味着我们可以简单地生成一系列有序的平方和L(m)的列表。

我们也知道L（m）中的最大和最小条目，因此在我们处于该范围之前，我们不需要开始考虑这些列表。

它仍然意味着可能需要考虑较高值的大量列表，但它仍然比更强力的方法更好。

我不确定是否有更好的方法，一旦你有这些列表，但要弄清楚你需要选择哪一个。我想可能不是你可以根据列表中数字的分布做出一些猜测，但我想不出一种方法可以很好地形式化它们。

为了给出一个更直观的例子

List      Lowest value    Highest value
L(0)            0  (0,0)        0  (0,0)
L(1)            1  (1,0)        1  (1,0)
L(2)            2  (1,1)        4  (2,0)
L(3)            5  (2,1)        9  (3,0)
L(4)            8  (2,2)        16 (4,0)
L(5)            13 (3,2)        25 (5,0)
L(6)            18 (3,3)        36 (6,0)
L(7)            25 (4,3)        49 (7,0)
L(8)            32 (4,4)        64 (8,0)

所以从0开始你只需要考虑L（0）中的项目，那就是用尽了你移动到L（1）。然后就已经筋疲力尽了等等。当你通过L（3）工作时，你发现你正在看L（3）的最后一个是9，它大于L（4）中的最低点，所以你看看这两个列表。

当您刚刚输入（5,0）和（4,3）25时，您将考虑L（6）和L（7）中的事物。当你走得更高时，你会考虑更多的列表，因为列表开始在更大的范围内包含更多的项目（例如，数字10,000在L（100）（几乎）和L（141）（从9941开始）的范围内）。

我还应该注意，你不需要提前计算整个列表，你可以轻松地使它成为一个懒惰的迭代器，只计算列表前面的数字，因为这是你唯一想要的。

迭代两个正方形的总和

2 个答案: