解决线性方程组的最有效方法

Question

我有一个（n×n）对称矩阵A和一个（n×1）向量B.基本上，我只需要求解Ax = b为x。问题是A可能会很大。所以我正在寻找最有效的C ++求解线性方程的算法。我查看了Eigen库。显然它有一个SVD方法，但我被告知它很慢。解决x =逆（A）* b似乎也不是最理想的。 uBLAS更快吗？有没有更有效的方法？谢谢。

编辑：矩阵A是正定的而不是稀疏的。

Answer 1

解决Ax = b形式的线性方程组的最佳方法是执行以下操作。

• 将A分解为格式A = M1 * M2（其中M1和M2为三角形）
• 使用返回替换
解决M1 * y = b y
• 使用返回替换
解决M2 * x = y x

对于方形矩阵，第1步将使用LU Decomposition。

对于非方形矩阵，第1步将使用QR Decomposition。

如果矩阵A 肯定而非稀疏，则第一步使用Cholesky Decomposition。

如果你想使用eigen，你必须先decompose it然后triangular solve。

如果这仍然很慢，谢天谢地，有许多可用的线性代数库可以帮助提高性能。您应该寻找的例程是dpotrs。一些实现此功能的库如下：

• Netlib的lapack：Documentation和Download（免费）
• 英特尔的MKL：Documentation和Download（免费用于非商业用途）。
• AMD的ACML：Download（免费）
• PLASMA：Download（免费，多核优化）
• MAGMA：Download（免费，在CUDA中实施，OpenCL）
• CULA：Download（免费增值，在CUDA中实施）。

如果您在整个项目中使用eigen，则可以按照here所述的方式连接您需要的LAPACK例程。