Question

为清楚起见，我在Python下面附上了一个简洁的算法实现。我理解它检查所有可能的元素交换，但我不明白这是如何必然意味着将达到所有可能的元素排序，和/或不会重复排序。

例如，如果交换了索引0和1处的元素，那么交换1和2会怎样？算法如何保证这不会导致重复排序？

P = []
def permute(l, n=0):
    if n == len(l):
        return P.append(list(l))
    for i in xrange(n, len(l)):
        l[i], l[n] = l[n], l[i]
        permute(l, n+1)
        l[i], l[n] = l[n], l[i]

Answer 1

假设：取一组“m”个不同的对象（序列的元素）。取初始序列为l = [a1，a2，a3，...，am]。

命题：上面给出的算法产生“m！”不同的序列。

证明：取“n = 0”和一些i。第一步是交换l [i]和l [n]。

观察：当调用“permute（l，n）”时，索引j = {0,1，...，n - 1}处的“l”值保持不变。

注意到这一观察结果。当调用permute（l，0）时，我们最终得到“m”非重叠序列集。每组中序列的共同特性是它们都以l [0]的相同值开始，例如a1，a2，...，am。将A [i = j，n = 0]作为在用l [i = j]交换l [n = 0]之后获得的所有这样的序列的集合。因为对于不同的“j”，集合不重叠，所获得的总序列等于 N_total = n（A [0,0]）+ n（A [1,0]）+ ... + n（A [m - 1,0]）。

由于l [0]在“permute（l，1）”的调用中不会改变，因此相当于“permute（l'，0）”，其中“l”是由“l”获得的“l”的子序列删除“l [0]”。类似的论证导致在该调用中获得“m-1”非重叠序列子集。即，A [i，0]又将是“m-1”个非重叠集的并集。通过归纳，最终的结果将是m的联合！非重叠集。由于每个集合都是非空的（通过检查n == len（l）的情况在算法中得到保证），那么将至少为m！不同的产出。

另一方面，最多可以有m！因此，不同的排列，算法的输出将是m！不同的序列。

最后，请注意，如果按值传递列表，此参数可以在上方应用，我相信在Python中就是这种情况。希望它有所帮助。

是否有用于生成序列的所有排列的递归算法的证明？

1 个答案: