IEEE 754双精度数的精确十进制表示中连续的非前导非尾随零（相应的nines）的最大数量是多少？
考虑将double转换为十进制，向上舍入（分别向下）的问题，当您能够使用的唯一原语是转换为最接近的现有函数时（正确舍入到任何所需的数字）数字）。
您可以获得一些额外的数字并自行删除它们。例如，要将点1.875向下舍入到一位数后，您可以将其转换为距离点（1.87或1.875）之后的两位或三位数的最近的十进制表示形式，然后自己删除数字以获得预期答案1.8。
对于某些数字和要打印的其他位数的选择，此方法会产生错误的结果。例如，对于距离double最近的0.799999996，转换为十进制，在点后生成0.80，0.800并舍入到最近的，2,3或4位数， 0.8000。当期望的结果为0.8时，在转换后删除其他数字会生成结果0.7。
存在有限数量的double，存在许多额外的数字，它们足以在初始转换中打印，以便在截断所获得的十进制表示后始终计算正确的结果。此数字与double的精确十进制表示中可能出现的最大九或零数相关。
此问题与this question about rounding down in the conversion of a double to decimal有关，并且是this question about the correctly rounded conversion of decimal representations to doubles的双重问题。
答案 0 :(得分：9)
[简短版本：答案是20.重新解决问题，找到2^e / 10^d形式的数字的良好理性近似值;然后使用连续分数为每个合适的d和e找到最佳近似值。]
答案似乎是20：也就是说，有一些IEEE 754 binary64浮点数的示例，其十进制扩展具有20个连续的零，但没有21个连续的零它们的十进制扩展（不包括前导和尾随零）。对于九个字符串也是如此。
对于第一部分，我需要做的就是展示这样的浮动。值0x1.9527560bfbed8p-1000可以完全表示为binary64 float，其十进制扩展包含20个零的字符串：
1.4770123739081015758322326613397693800319378788862225686396638475789157389044026850930817635789180868803699741668118826590044503912865915000931065333265410967343958956370955236330760696646247901278074331738806828003156818618589682432778455224012594723731303304343292224317331720902511661748324604219378419442700000000000000000000740694966568985212687104794747958616712153948337746429554804241586090095019654323133732729258896166004754316995632195371041441104566613036026346868128222593894931067078171989365490315525401375255259854894072456336393577718955037826961967325532389800834191597056333066925969522850884268136311674777047673845172073566950098844307658716553833345849153012040436628485227928616281881622762650607683099224232137203216552734375E-301
关于9的问题部分，0x1.c23142c9da581p-405的十进制扩展包含20个9的字符串：
2.12818792307269553358078502102171540639252016258831784842556110831434197718043638405555406495645619729155240037555858106390933161420388023706431461384056688295540725831155392678607931808851292893574214797681879999999999999999999941026584542575391157788777223962620780080784703190447744595561259568772261019375946489162743091583251953125E-122
为了解释我如何找到上面的数字，并表明没有21个连续零的例子，我们需要更加努力。对于某些整数(a + eps)*10^d和a以及实数d，eps格式为a，其实数为{9}或0非零（我们可能假设a为正）和eps非零且小。例如，如果0 < abs(eps) < 10^-10，则a + eps小数点后面至少有10个零（如果eps为正数），或者小数点后面有10个零（如果eps为{负）;乘以10^d可以移动零或九的字符串的位置。
但是我们对上述形式的数字感兴趣，这些数字同时可以表示为IEEE 754 binary64 float;换句话说，对于整数b*2^e和b满足e的{{1}}形式的2^52 <= b <= 2^53形式的数字，其中e的范围有限（并且还有一些额外的一旦我们进入低于正常范围，b的限制，但我们可以稍后担心。
结合这一点，我们正在寻找整数(a + eps) * 10^d = b * 2^e，a，b和d中e的解决方案，以便eps 1}}很小，a是正数且2^52 <= b <= 2^53（我们后来会担心d和e的范围。重新排列，我们得到eps / b = 2^e / 10^d - a / b。换句话说，我们正在寻找具有有限分母的2^e / 10^d的良好有理近似。这是连续分数的经典应用：给定d和e，可以有效地找到具有2^53限制的分母的最佳有理逼近。
所以解决方案策略一般是：
for each appropriate d and e:
find the best rational approximation a / b to 2^e / 10^d with denominator <= 2^53
if (the error in this rational approximation is small enough):
# we've got a candidate
examine the decimal expansion of b*2^e
我们只有大约2千个值用于检查，最差的是每个这样的e几百d，因此整个计算上非常可行。
现在详细说明：＆＃34;足够小＆＃34;意思？哪个d和e是＆＃34;适当的＆＃34;？
至于＆＃34;足够小＆＃34;：让我们说我们正在寻找至少19个零或九的字符串，所以我们正在寻找{{{{ 1}}。因此，对于每个0 < abs(eps) <= 10^-19和d，所有e和a都可以找到b。请注意，由于abs(2^e / 10^d - a / b) <= 10^-19 * 2^-52的限制，只能有一个这样的分数b;如果还有另一个a / b，那么我们就会a' / b'，这是一个矛盾。因此，如果存在这样的分数，它必然是给定分母界限的最佳有理逼近。
对于1 / 2^106 <= 1 / (b *b') <= abs(a / b - a' / b') <= 2 * 10^-19 * 2^-52和d：要涵盖包含次正规的binary64范围，我们希望e的范围从e到-1126。如果971过大，d将远小于2^e / 10^d，并且没有解决方案的希望; 2^-53是一个实际的约束。如果d <= 16 + floor(e*log10(2))太小（或太负），那么d将是一个整数，并且没有解决方案;为避免这种情况，我们需要2^e / 10^d。
考虑到所有内容，让我们编写一些代码。 Python解决方案非常简单，部分归功于Fraction.limit_deminator方法的存在，它完全可以在极限范围内找到最佳有理逼近。
d > min(e, 0)那里有足够的性能改进空间（不使用Python＆＃39; from fractions import Fraction
from itertools import groupby
from math import floor, log10
def longest_run(s, c):
"""Length of the longest run of a given character c in the string s."""
runs = [list(g) for v, g in groupby(s, lambda k: k == c) if v]
return max(len(run) for run in runs) if runs else 0
def closest_fraction(d, e):
"""Closest rational to 2**e/10**d with denominator at most 2**53."""
f = Fraction(2**max(e-d, 0) * 5**max(-d, 0), 2**max(0, d-e) * 5**max(0, d))
approx = f.limit_denominator(2**53)
return approx.numerator, approx.denominator
seen = set()
emin = -1126
emax = 971
for e in range(emin, emax+1):
dmin = min(e, 0) + 1
dmax = int(floor(e*log10(2))) + 16
for d in range(dmin, dmax+1):
num, den = closest_fraction(d, e)
x = float.fromhex('0x{:x}p{}'.format(den, e))
# Avoid duplicates.
if x in seen:
continue
seen.add(x)
digits = '{:.1000e}'.format(x).split('e')[0].replace('.','').strip('0')
zero_run = longest_run(digits, '0')
if zero_run >= 20:
print "{} has {} zeros in its expansion".format(x.hex(), zero_run)
nine_run = longest_run(digits, '9')
if nine_run >= 20:
print "{} has {} nines in its expansion".format(x.hex(), nine_run)
模块将是一个良好的开端:-);就目前而言，需要几分钟才能完成。以下是结果：
fractions答案 1 :(得分：1)
显然，它至少是15，如Smalltalk / Squeak代码所示：
1.0 successor asTrueFraction printShowingMaxDecimalPlaces: 100.
-> '1.0000000000000002220446049250313080847263336181640625'
1.0 predecessor asTrueFraction printShowingMaxDecimalPlaces: 100.
-> '0.99999999999999988897769753748434595763683319091796875'
现在，它更多地涉及到证明不能超过15个连续的零。您搜索浮点数f=(A*10^n+B)*10^p
但浮点数也必须表示为整数有效数和偏差指数f=s*2^e其中
我们因此s=(A*2^n*5^n+B)*2^(p-e)*5^p与s < 2^53。
我的第一个回答是假的，这是要完成的......
一般来说，s可以写成，s = 2 ^ a * 5 ^ b + c，c不能被2和5整除。
A * 2 ^（n + p-e）* 5 ^（n + p）+ B * 2 ^（p-e）* 5 ^ p = 2 ^ a * 5 ^ b + c
我们可以搜索A = 1的构造，B = c * 2 ^（e-p）/ 5 ^ p <1，n + p-e = a，n + p = b，e-p = n-a。
B = C * 2 ^（N-A）/ 5 ^（B-N）
我尝试了所有对a，b，这样2 ^ 52＆lt; 2 ^ a * 5 ^ b＆lt; 2 ^ 53，但是找不到满足B＆lt; 1的任何n> 15 ...尝试用A＆gt; 1只会使事情变得更糟（它涉及减少a和b）。
因此，我不认为有任何双重连续16个零，但它不是一个美丽的示范...
答案 2 :(得分：1)
我没有这方面的解决方案，但这是我可能遵循的方法：
L。由于aka.nice的答案，它至少有15个长。10^k，其中L+1连续零可能发生，你会得到一个凌乱的小背包问题。10^{k+L},的相关53次幂并围绕它们，使它们有大约L+1个有效数字。10^{k+L}的前26个幂的所有组合。10^{k+L}的最后26个幂的所有组合。sprintf或其他内容检查每场比赛。好像你必须运行这个循环几百万次，但它应该可以在几十个小时内在几十台现代计算机上运行。
我还要补充说，在浮点中有一个完全可以表示的整数，它有很多尾随零：87960930222080000000000000000000000有22个尾随零，并且是10F0CF064DD5920000000000000000十六进制。 （事实上，10 ^ 22可以完全表示为双，它显然有22个尾随零。你不能做得更好，因为5 ^ 23需要划分这样的有效数，这是不可能的。哦，好吧。）
答案 3 :(得分：0)
此代码将在十进制结束时删除0。
private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
String Str = textBox1.Text;
String lstVal = GetDecimalString(Str);
textBox2.Text = lstVal;
}
private static string GetDecimalString(String Str)
{
String lstVal = "";
if (Str.IndexOf(".") > -1)
{
String[] Last = Str.Split('.');
if (Last.Length == 1)
{
lstVal = Last[0];
}
else
{
lstVal = Last[1];
}
String TrimedData = lstVal;
for (int i = lstVal.Length - 1; i >= 0; i--)
{
if (TrimedData.EndsWith("0") && TrimedData.Length > 3)
{
TrimedData = TrimedData.Substring(0, i - 1);
}
}
lstVal = TrimedData;
if (lstVal.Length < 3)
lstVal = lstVal.PadRight(3, '0');
lstVal = String.Join(".", Last[0], lstVal);
}
else
{
lstVal = Str;
}
return lstVal;
}
答案 4 :(得分：-2)
务实的解决方案是：