索引大小为k的子集

Question

有n个大小为k的{1,2，...，n}的k个子集。这些可以通过排序元素和使用词典顺序自然地排序。

是否有一种快速的方法来确定给定子集的索引，即其在大小为k的所有子集的排序列表中的索引？一种方法是通过枚举大小为k的所有子集来创建从子集到索引的字典，但这需要n选择k空间和时间。对于我的应用程序，n和k是不可能的大，但我只需要确定相对较少的子集的索引。

我在Python中编码，但我对通用算法比对任何特定实现更感兴趣。当然，如果在Python中有一种特别快速的方法可以做到这一点很棒。

动机：大小为k的{1,2，...，n}的子集与双向对​​应于具有维数n的向量空间的第k个外部幂的基础向量。我正在向量空间的外部代数中执行计算，并试图将得到的向量列表转换为稀疏矩阵来做线性代数，为此，我需要用整数而不是列表来索引向量。

Answer 1

让s成为表示1..n。

的给定子集的排序列表

有(n-s[0]) choose k个子集，其中元素的最低值大于s[0]。在以s[0]开头的子集中，(n-s[1]) choose (k-1)子集的第二个元素大于s[1]，依此类推。我还没有制定证据，但以下功能应该有效：

def choose(n, k):
    ...

def index_of(sorted_subset, n):
    k = len(sorted_subset)
    subsets_after_the_input = 0
    for i, elem in enumerate(sorted_subset):
        subsets_after_the_input += choose(n-elem, k-i)
    return choose(n, k) - subsets_after_the_input - 1

Answer 2

我认为你可以通过递归缩小范围来做到这一点，对吧？您知道以给定整数开头的所有子集都是相邻的，对于给定的第一个元素d，将有（n - d）选择它们（k-1）。您可以在虚拟子集列表中尽可能跳过，直到您处于以目标排序子集的第一个元素开头的子集范围内，然后递归以精确缩小范围。

EG，假设n = 20，k = 6。如果您的目标子集是{5,8,12,14,19}，则以1-4开头的子集都不是有效选择。你知道从5开始的索引第一个子集将是（（19选5）+（18选5）+（17选5）+（16选5））。称该索引为i0。现在你有（15个选择5个）子集，所有子集都以5开头索引，而没有以5,1-7开头的子集都很有趣。 （14选4）他们从1开始，（13选4）以2开始等。所以从5,8开始的第一组的索引将是i0 +（14选4）+（13选4）+ （12选4）+（11选4）+（10选4）+（9选4）+（8选4）。等

编写算法有点痛苦，但我认为它应该可以很好地与计算机一起工作，跟踪繁琐的细节。