十进制到IEEE单精度浮点

Question

我有兴趣学习如何仅使用按位运算符将整数值转换为IEEE单精度浮点格式。但是，我很困惑在计算指数时可以做些什么来知道剩下多少逻辑移位。

给定一个int，比如15，我们有：

二进制：1111

- ＆GT; 1.111 x 2 ^ 3 =＆gt;在第一位之后放置小数点后，我们发现'e'值将为3。

E = Exp - 偏见 因此，Exp = 130 = 10000010

有效数字为：111000000000000000000000

然而，我知道'e'值将是3，因为我能够看到在第一位之后放置小数后有三位。作为一般情况，是否有更通用的代码编码方式？

同样，这是一个int到float的转换，假设整数是非负的，非零，并且不大于尾数允许的最大空间。

另外，有人可以解释为什么大于23位的值需要舍入？ 提前谢谢！

Answer 1

首先，如果你想更好地理解浮点弱点，你应该考虑阅读一篇论文：“每个计算机科学家应该知道的关于浮点运算的内容”，http://www.validlab.com/goldberg/paper.pdf

现在对某些人来说。

以下代码是简单的，并试图从unsigned int生成一个范围为0＆lt; {0}的IEEE-754单精度浮点数。价值＆lt; 2 ²⁴ 。这是您在现代硬件上最有可能遇到的格式，它是您在原始问题中引用的格式。

IEEE-754单精度浮点数分为三个字段：单符号位，8位指数和23位有效数（有时称为尾数）。 IEEE-754使用隐藏1 有效数字，这意味着有效数字实际上是24位。这些位从左到右打包，符号位在第31位，指数在第30位...... 23位，有效位在位22 .. 0中。来自维基百科的下图说明：

指数的偏差为127，这意味着与浮点数关联的实际指数比指数字段中存储的值小127。因此，指数0将被编码为127。

（注意：完整的维基百科文章可能对您有意思。参考：http://en.wikipedia.org/wiki/Single_precision_floating-point_format）

因此，IEEE-754号码0x40000000解释如下：

• 位31 = 0：正值
• 位30 .. 23 = 0x80：指数= 128 - 127 = 1（又名.2 ¹ ）
• 位22 .. 0均为0：显着= 1.00000000_00000000_0000000。 （注意我恢复了隐藏的1）。

因此该值为1.0 x 2 ¹ = 2.0。

要将上面给出的有限范围内的unsigned int转换为IEEE-754格式的内容，您可以使用如下所示的函数。它需要以下步骤：

• 将整数的前导1与浮点表示中隐藏 1的位置对齐。
• 在对齐整数时，记录所做的轮班总数。
• 掩盖隐藏的1。
• 使用所做的班次数，计算指数并将其附加到数字上。
• 使用reinterpret_cast，将生成的位模式转换为float。这部分是一个丑陋的黑客，因为它使用类型惩罚指针。你也可以通过滥用union来做到这一点。有些平台提供了一种内在操作（例如_itof），使这种重新解释不那么难看。

有更快的方法可以做到这一点;如果不是超级有效的话，这个意图在教学上是有用的：

float uint_to_float(unsigned int significand)
{
    // Only support 0 < significand < 1 << 24.
    if (significand == 0 || significand >= 1 << 24)
        return -1.0;  // or abort(); or whatever you'd like here.

    int shifts = 0;

    //  Align the leading 1 of the significand to the hidden-1 
    //  position.  Count the number of shifts required.
    while ((significand & (1 << 23)) == 0)
    {
        significand <<= 1;
        shifts++;
    }

    //  The number 1.0 has an exponent of 0, and would need to be
    //  shifted left 23 times.  The number 2.0, however, has an
    //  exponent of 1 and needs to be shifted left only 22 times.
    //  Therefore, the exponent should be (23 - shifts).  IEEE-754
    //  format requires a bias of 127, though, so the exponent field
    //  is given by the following expression:
    unsigned int exponent = 127 + 23 - shifts;

    //  Now merge significand and exponent.  Be sure to strip away
    //  the hidden 1 in the significand.
    unsigned int merged = (exponent << 23) | (significand & 0x7FFFFF);


    //  Reinterpret as a float and return.  This is an evil hack.
    return *reinterpret_cast< float* >( &merged );
}

使用检测数字中前导1的函数，可以提高此过程的效率。 （对于“计数前导零”，有时使用clz之类的名称，或者对于“正常化”使用norm。）

你也可以通过记录符号，取整数的绝对值，执行上述步骤，然后将符号放入数字的第31位，将其扩展为带符号的数字。

对于整数＆gt; = 2 ²⁴ ，整个整数不适合32位浮点格式的有效数字段。这就是你需要“舍入”的原因：你失去了LSB以使价值合适。因此，多个整数将最终映射到相同的浮点模式。确切的映射取决于舍入模式（向-Inf舍入，向+ Inf舍入，向零舍入，向最近偶数舍入）。但事实是你不能将24位变成少于24位而没有一些损失。

您可以根据上面的代码看到这一点。它的工作原理是将前导1对齐到隐藏的1位置。如果值>> 2 ²⁴ ，则代码需要移位右，而不是 left ，这必然会使LSB移位。舍入模式只是告诉你如何处理移走的位。