Question

我在理解SML中的变体以及如何确定递归函数的变体时遇到了一些麻烦。我得到了解释：

“（递归）函数的变体是函数参数上的任何表达式，它接受某些集合A中的值，以便

但这并没有真正帮助我。一个更具体的例子会很棒！

Answer 1

假设您的递归函数生成一个长度为n的列表，其中所有元素都为零。

这看起来像这样：

fun foo 0 = []
  | foo n = 0::(foo (n - 1))

在这种情况下，变量是函数的参数n n是一个自然数，自然数是完全有序的，没有无限下行链，因为没有链可以低于零。
此外，n严格按每次递归调用减少。

另一个例子：假设你的函数接受两个参数x和y，如果x > y则返回true，否则返回false。

fun bar 0 y = false
  | bar x 0 = true
  | bar x y = bar (x - 1) (y - 1)

在这种情况下，变体有几种选择。您可以将其视为x或y，如上例所示，或者为x + y。在任何一种情况下，它都会采用自然数值并严格降低。

现在，举例来说，参数是非整数 - 查找列表的总和。

fun sum [] = 0
  | sum (x::xs) = x + (sum xs)

在这种情况下，变量可以被视为列表的长度（同样是自然数），或者是列表本身，其中列表按如下顺序排列：

l1 < l2 iff有一些有限的元素序列x1,x2,...,xn x1::x2::...::xn::l1 = l2。

在这种比较下，很容易证明列表集是部分排序的，没有无限下行链，特别是，从某些列表开始的递归调用生成的列表集是完全有序的。 / p>

此外，在任何递归调用中，xs < (x::xs)根据定义，因此列表正在减少。

变体的一点是，它是一个可以被引导来证明函数行为的数量。由于没有无限减少的链，必须有一个最小元素，可以作为归纳的基本情况，然后总顺序提供了一种从一个元素到一个元素直接大于它的方法。

这也可以通过没有无限递减链的部分顺序来完成，这保证了存在最小元素，如果不是必需的最小元素。然后可以将这些作为基本案例，并使用类似的归纳论证，尽管可能有多种方法来构建更大的元素。