Question

例如，我想计算（合理有效地）

2 ^ 1000003 mod 12321

最后我想做（2 ^ 1000003 - 3）mod 12321.有没有可行的方法来做到这一点？

Answer 1

基本模数属性告诉我们

1）a + b (mod n)为(a (mod n)) + (b (mod n)) (mod n)，因此您可以分两步拆分操作

2）a * b (mod n)为(a (mod n)) * (b (mod n)) (mod n)，因此您可以使用模幂运算（伪代码）：

x = 1
for (10000003 times) {
    x = (x * 2) % 12321; # x will never grow beyond 12320
}

当然，你不应该做10000003次迭代，只记得2 ^1000003 = 2 * 2 ^1000002，2 ^1000002 = （2 ⁵⁰⁰⁰⁰¹）²等......

Answer 2

以某种合理的C或类似Java的语言：

def modPow(Long base, Long exponent, Long modulus) = {
  if (exponent < 0) {complain or throw or whatever}
  else if (exponent == 0) {
    return 1;
  } else if (exponent & 1 == 1) { // odd exponent
    return (base * modPow(base, exponent - 1, modulus)) % modulus;
  } else {
    Long halfexp = modPow(base, exponent / 2, modulus);
    return (halfexp * halfexp) % modulus;
  }
}

这要求modulus足够小，(modulus - 1) * (modulus - 1)和base * (modulus - 1)都不会溢出您正在使用的整数类型。如果modulus太大了，那么还有一些其他技术可以补偿一点，但用一些任意精度的整数算术库来攻击它可能更容易。

然后，你想要的是：

(modPow(2, 1000003, 12321) + (12321 - 3)) % 12321

Answer 3

在Java中，有一种简单的方法可以做到这一点：

Math.pow(2, 1000003) % 12321;

对于没有内置Math.*功能的语言，它会变得有点困难。你能澄清一下这应该是哪种语言吗？

如何计算大指数的mod？

3 个答案: