生成从1到n的所有二进制搜索树

Question

我遇到了以下问题：

给定正整数n，生成所有具有节点1,2，...，n的二叉搜索树。

例如，给定3，获得：

我正在做以下事情：

Generate all the permutations of the sequence (1, 2, ..., n).
For each permutation p:
    Create a tree t.
    For each number n in p:
        Insert n into t.
    If t has not yet been generated, keep it. <-- Expensive Operation

然而，这种方法很慢，因为生成了重复的树（对于n = 3，（2,1,3）和（2,3,1）生成相同的树），我需要确保它们不被保留。有人会指出我更快的方法吗？

Answer 1

这是伪代码，没有重复（但你仍然需要很多空间，因为没有树生成很高）。

TreeList void genAllBST(int high,int low) {

  if(high>=low) {
      currList = []
      for(int i=low;i<=high;i++) {
          curr = new Node(i);
          leftList = genAllBST(i-1,low);
          rightList = genAllBST(high,i+1);
          TreeList c = connect(curr,leftList,rightList);  
          currList.add(c);
      }

     return(currList);

  }

   return(null);
}

genAllBST(n,1);

Answer 2

让我们以自下而上的方式理解它。自下而上的方法说明了什么？问题1：我们知道N = 0的答案吗？问题2：我们知道N = 1的答案吗？问题3：我们知道N = 2的答案吗？问题4：是否存在模式关系？问题5：是否存在N = i的解决方案，可以解决i = k的N = k的问题？如果以积极的方式回答了这些问题，那么我们可以说这是一个编程问题，可以通过递归或动态编程来解决。

让T（n）为n个元素的bst数。

给出n个不同的有序元素，编号从1到n，我们选择i作为根。

对于T（i-1）组合，这在左子树中留下（1..i-1），对于T（n-i）组合，在右子树中留下（i + 1..n）。

因此：

T(n) = sum_i=1^n(T(i-1) * T(n-i))

，当然T（1）= 1

您还可以检查：https://www.geeksforgeeks.org/construct-all-possible-bsts-for-keys-1-to-n/