找出无向图中最短周期的长度

Question

我尝试了以下内容：

1）DFS，跟踪DFS树中每个顶点的水平

2）每次看到后边缘（x，y）时，我计算周期长度=水平[x] - 水平[y] + 1，如果它小于最短

则保存

有人可以告诉一个反例，说明这种做法是错误的吗？

在无向图中找到最短周期的更好方法是什么？

感谢。

Answer 1

为什么DFS不起作用

您无法使用DFS查找最短的圆圈。我们可以轻松创建一个反例，其中DFS引导只找到最长的圆。让我们看看下面的图表：

如您所见，我们有九个节点。如果我们从最左边的节点A开始，则可以使用以下DFS级别：

迭代时我们有两个后边缘：

• (B , A)，因此我们找到了一个长度为8
的圆圈
• (D , A)，因此我们找到了一个长度为8
的圆圈

但是，最短的圆圈长度为5.在下一张图片中显示为蓝色，而之前找到的圆圈之一显示为红色：

您没有看到蓝色圆圈，因为您的DFS路径不包含它。 Dagupa等人在他们的书中也提到了这种行为：

  

但这也意味着DFS最终会将一条漫长而复杂的路线带到一个实际非常接近的顶点。

为什么BFS不起作用

嗯，这不完全正确，可以使用BFS（参见下一小节），但是你不能使用你的公式。请看下面的图表：

No fancy picture for this graph yet.

Every "o" is a node.

        o---o
        |   |
+-------o---o-------+
|                   |
o----o----o----o----o

让我们看看BFS可能达到的水平。如果我从中间的节点开始，我会得到以下级别：

        5~~~5            ~~~ are back-edges
        |   |
+-------4~~~4-------+
|                   |
3----2----1----2----3

如果我从左侧节点开始，我会得到以下级别：

        3~~~4
        |   |
+-------2---3-------+
|                   |
1----2----3----4~~~~4

因此，您无法使用等级公式。

解决方案

虽然效率不高，但使用全对最短路径算法并检查每个节点的距离（i，i）是一种有效的解决方案。

Answer 2

我认为这正是您所寻找的：http://webcourse.cs.technion.ac.il/234247/Winter2003-2004/ho/WCFiles/Girth.pdf

您从每个节点创建BFS，因此您具有复杂度O（V * E）

Answer 3

假设我们的图表有以下边缘，

1·; - →4， 4℃; - →2， 4℃; - →3， 2'; - →3， 3'; - →1

然后可以在1,4,3,1之前遍历第1,4,2,3,1循环，并且当我们考虑DFS时，将不会访问节点两次。因此，如果首先遍历1,4,2,3,1，则根本不会遍历1,4,3,1或4,2,3,3。因此，对于DFS，它可以 NOT 确保我们将始终获得最短的周期。

可能的改进： BFS树应该可以正常工作，并且从根到任何节点的BFS树距离都是固定的，无论选择哪个节点节点。运行时：O（V + E），而修改后的Floyd-Warshall算法在最坏的情况下运行在O（V ^ 3）。