Question

我想对常规多边形进行精确计算。为此，我编写了您在下面找到的代码。但表达式cos*cos将无法编译。显然，我所使用的代数数字类型没有定义乘法。我想我将不得不尝试其他方法。目前似乎有两个候选人：

RS显然提供了一些更高级的代数功能，CGAL has support for it。但我在相关的标题中看不到乘法运算符，所以我怀疑它会按照我想要的方式进行乘法运算。
leda::real似乎是代数实数的一种类型。我可能不得不重写我的代码，但应该可以实现类似的结果。也许我甚至可以将我在CGAL中计算的cos转换为这样的leda::real。 LEDA标头至少看起来有operator*。 LEDA可供我免费使用，但仍然是封闭源。 CGAL 4.3的leda_real.h看起来很奇怪：它指的是leda_real而不是leda::real，所以它可能是为过时版本的LEDA而写的。它显然包含了自己，看起来毫无意义。

这些替代方案中哪一种最适合构建精确的CGAL内核，能够描述任意 n 的常规 n ？这些都有用吗？我还缺少另一种选择吗？

由于我的计算机上没有安装RS或LEDA，在开始构建之前我更喜欢受过教育的意见，甚至可能为我的Gentoo linux编写安装说明（“ebuilds”）。

#include <string>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>

//define CGAL_USE_RS
#include <CGAL/Gmpz.h>
#include <CGAL/Algebraic_kernel_d_1.h>
#include <CGAL/Algebraic_kernel_rs_gmpz_d_1.h>
#include <CGAL/Homogeneous.h>
#include <CGAL/Arr_segment_traits_2.h>
#include <CGAL/Arrangement_2.h>

#define DBG(x) std::cerr << x << std::endl

typedef CGAL::Gmpz ZZ;
// typedef CGAL::Algebraic_kernel_rs_gmpz_d_1 AK;
typedef CGAL::Algebraic_kernel_d_1<ZZ> AK;
typedef AK::Polynomial_1 Polynomial;
typedef AK::Algebraic_real_1 AA;
typedef AK::Coefficient Coeff;
typedef AK::Bound Bound;
typedef AK::Multiplicity_type Multiplicity;
typedef CGAL::Homogeneous<AK> Kernel;
typedef CGAL::Arr_segment_traits_2<Kernel> Traits;
typedef Kernel::Point_2 Point;
typedef Kernel::Segment_2 Segment;
typedef CGAL::Arrangement_2<Traits> Arrangement;

static unsigned run(unsigned short n) {
  AK ak;
  AK::Construct_algebraic_real_1 to_AA = ak.construct_algebraic_real_1_object();
  AK::Solve_1 solve = ak.solve_1_object();
  Polynomial x{CGAL::shift(Polynomial(1), 1)}, twox{2*x};
  Polynomial a{1}, b{x};
  for (unsigned short i = 2; i <= n; ++i) {
    Polynomial c = twox*b - a;
    a = b;
    b = c;
  }
  std::vector<std::pair<AA, Multiplicity>> roots;
  solve(b - 1, std::back_inserter(roots));
  AA one{1}, cos{-2};
  for (auto i = roots.begin(), e = roots.end(); i != e; ++i) {
    AA cur = i->first;
    if (cur < one && cur > cos)
      cos = cur;
  }
  AA sin = CGAL::sqrt(to_AA(1) - cos*cos);
  //DBG("sin="<<CGAL::to_double(sin)<<", cos="<<CGAL::to_double(cos));
  return 0;
}

int main(int argc, char** argv) {
  for (int i = 1; i < argc; ++i) {
    unsigned short n;
    std::istringstream(argv[i]) >> n;
    std::cout << n << ": " << run(n) << std::endl;
  }
  return 0;
}

Answer 1

CGAL还附带CORE library，它提供您需要的操作。

以下是一些代码（由OP自己提供）来准确计算sin和cos：

#include <utility>
#include <CGAL/CORE_Expr.h>
#include <CGAL/Polynomial.h>
#include <CGAL/number_utils.h>

typedef CORE::Expr AA;
typedef CGAL::Polynomial<AA> Polynomial;

// return sin(θ) and cos(θ) for θ = 2π/n
static std::pair<AA, AA> sin_cos(unsigned short n) {
  // We actually use -x instead of x since root_of will give the k-th
  // smallest root but we want the second largest one without counting.
  Polynomial x{CGAL::shift(Polynomial(-1), 1)}, twox{2*x};
  Polynomial a{1}, b{x};
  for (unsigned short i = 2; i <= n; ++i) {
    Polynomial c = twox*b - a;
    a = b;
    b = c;
  }
  a = b - 1;
  AA cos = -CGAL::root_of(2, a.begin(), a.end());
  AA sin = CGAL::sqrt(AA(1) - cos*cos);
  return std::make_pair(sin, cos);
}

关于代数数的计算

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