(10^{17}-1)*(10^{17}-1) mod 10^{18}
我正在解决编程问题，并且我将整数保持为64位长整数。以上是我无法解决的特例。 （ab）mod m =（a mod m）（b mod m）mod m，此处不成立，因为（a mod m）（b mod m）仍会溢出64位整数。我该如何解决这个问题？我只把17次力量作为例子。即使对于范围内的所有整数（10 ^ {10}，10 ^ {18} -1），问题仍然存在。
编辑：我正在使用C ++来解决这个问题。不使用库来处理大整数就可以解决这个问题。
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您可以使用您引用的身份，只需要另一个相似的身份：(a+b) mod m = (a mod m) + (b mod m)。
目标是将x*y mod m乘以不超过溢出限制的任何中间值（在本例中为2 ^ 64），其中x的起始值小于m（如果不是{ t，减少mod m），y可能大于m，x*y可能会溢出。如果m小于溢出限制的一半，我们可以这样做。
解决方案很简单：只需为x*y逐位执行基本乘法操作，并按模m的每一步执行。
从x开始，y小于m（如果不是，请先将其缩小）。以y + ...的形式写a_0 * 2^0 + a_1 * 2^1 + a_2 * 2^2，其中a_n为0或1（表示该术语是否存在）。 （Aka，以二进制形式写y。）现在我们有：
x * (a_0 * 2^0 + a_1 * 2^1 + a_2 * 2^2 + ...) mod m
在x的每个字词上分发y：
(x * a_0 * 2^0) + (x * a_1 * 2^1) + (x * a_2 * 2^2) + ... mod m
然后使用原始乘法标识：对于上面的每个项，将x乘以2 mod m，直到达到该项的所需幂为2。 （从x < m和2 * m < 2^64开始，然后是2 * x < 2^64，所以我们可以乘以2而不会溢出。）完成后，为每个术语mod m添加结果（你你可以随时保持一笔运行金额。）
这些操作都不会超过2 ^ 64，因此不会溢出。这适用于m小于2 ^ 64/2 = 2 ^ 63的任何值以及小于x的任何整数y和m。
这不一定是最快的方法，随时找到更高效的东西。对于初学者，将较小的m与溢出限制进行比较，我们可以将y重写的术语的基数越大。