无法从集合中获得的最小金额

Question

给定一组正整数，其元素不需要是不同的，我需要找到不能从给定集合的任何子集中获得的最小非负和。

示例：if S = {1, 1, 3, 7}，我们可以0为(S' = {})，1为(S' = {1})，2为(S' = {1, 1})， 3为(S' = {3})，4为(S' = {1, 3})，5为(S' = {1, 1, 3})，但我们无法获取6。

现在我们获得一个array A，由N个正整数组成。它们是M个查询，每个查询包含两个整数Li和Ri描述我的查询：我们需要找到不能从数组elements ={A[Li], A[Li+1], ..., A[Ri-1], A[Ri]}获得的这个Sum。

我知道通过蛮力方法在O（2 ^ n）中完成它。但鉴于1 ≤ N, M ≤ 100,000，这是不可能的。 他们采取任何有效的方法都是如此。

Answer 1

概念

假设我们有一个bool数组，表示到目前为止尚未找到的数字（通过求和）。

对于我们在n的有序（增加值）子集中遇到的每个数字S，我们执行以下操作：

1. 对于True中位置i的每个现有numbers值，我们将numbers[i + n]设置为True
2. 我们将numbers[n]设置为True

使用这种筛子，我们会将所有找到的数字标记为True，并在算法结束时迭代数组会找到最小的无法获得的总和。

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细化

显然，我们不能有这样的解决方案，因为数组必须是无限的才能适用于所有数字集。

通过做一些观察可以改进这个概念。输入1, 1, 3时，数组变为（按顺序）：

^{（数字代表true个值）}

可以做一个重要的观察：

• （3）对于每个下一个号码，如果已经找到以前的号码，它将被添加到所有这些号码中。这意味着如果在数字之前没有间隙，则在处理该数字后将没有间隙。

对于7的下一个输入，我们可以声明：

• （4）由于输入集是有序的，因此不会有小于7
的数字
• （5）如果没有小于7的数字，则无法获得6



我们可以得出结论：

• （6）第一个差距代表最低无法获得的数字。

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算法

由于（3）和（6），我们实际上不需要numbers数组，我们只需要一个值，max到表示到目前为止找到的最大数量

这样，如果下一个号码n大于max + 1，则会产生差距，max + 1是最低无法获得的号码。

否则，max变为max + n。如果我们浏览了整个S，则结果为max + 1。

实际代码（C＃，很容易转换为C）：

static int Calculate(int[] S)
{
    int max = 0;
    for (int i = 0; i < S.Length; i++)
    {
        if (S[i] <= max + 1)
            max = max + S[i];
        else
            return max + 1;
    }
    return max + 1;
}

应该运行得非常快，因为它显然是线性时间（O（n））。由于应该对函数的输入进行排序，因此使用quicksort将变为O（nlogn）。我设法在不到5分钟的时间内在8个内核上获得结果M = N = 100000。

如果数字上限为10 ^ 9，则可以使用基数排序来近似排序的O（n）时间，但由于需要大量的排序，这仍然会超过2秒。

但是 ，我们可以使用统计概率1为randomed 来消除排序前的子集。在开始时，检查S中是否存在1，如果不存在，则每个查询的结果为1，因为无法获取。

从统计数据来看，如果我们从10 ^ 9个数字中随机抽取10 ^ 5次，我们有99.9％的机会没有得到单个1。

在每次排序之前，检查该子集是否包含1，如果不是，则其结果为1。

通过此修改，代码在我的机器上运行2毫秒。这是http://pastebin.com/rF6VddTx

上的代码

Answer 2

这是subset-sum problem 的变体，NP-Complete，但您可以在此处采用伪多项式Dynamic Programming解决方案，基于此递归公式：

f(S,i) = f(S-arr[i],i-1) OR f(S,i-1)
f(-n,i) = false
f(_,-n) = false
f(0,i) = true

递归公式基本上是一个详尽的搜索，如果您可以使用元素i或没有元素i来获取它，则可以实现每个总和。

动态编程是通过构建SUM+1 x n+1表来实现的（其中SUM是所有元素的总和，n是元素的数量），并自下而上构建它

类似的东西：

table <- SUM+1 x n+1 table
//init:
for each i from 0 to SUM+1:
    table[0][i] = true
for each j from 1 to n:
    table[j][0] = false
//fill the table:
for each i from 1 to SUM+1:
    for each j from 1 to n+1:
         if i < arr[j]:
              table[i][j] = table[i][j-1]
         else:
              table[i][j] = table[i-arr[j]][j-1] OR table[i][j-1]

获得该表后，您需要最小的i，以便所有j：table[i][j] = false

解决方案的复杂性为O(n*SUM)，其中SUM是所有元素的总和，但请注意，在找到所需数字后，实际上可以修剪算法，而无需继续下一行，这是解决方案所不需要的。