复杂性

Question

给出一个字符串的子序列集合。

例如：

abc
acd
bcd

问题是，如何从这些序列中确定最短的字符串？

对于上面的示例，最短的字符串是abcd。

此处子序列表示字符串的一部分，但不一定是连续的。像acd一样是字符串abcd的子序列。

编辑：这个问题实际上来自Project Euler problem 79，在那个问题中，我们有50个子序列，每个子序列的长度为3.所有字符都是数字。

Answer 1

这个问题得到了很好的研究，并创造了“Shortest common supersequence”

对于两个字符串，它在O（n）中。假设n是字符串的最大长度。 O（n）用于构建 suffix array ，然后用O（n）来解决Longest Common Subsequence问题。

对于两个以上的字符串，它是NP-Complete。

Answer 2

复杂性

在一般情况下，如上所述，这个问题将是NP难的。有一种方法可以解决具有后缀结构的问题，但您也可以使用有向图来执行此操作。我不能肯定地说在某种意义上它是否更好 - 但在困难的角落案件中可能会有一些优势。

图表解决方案

要了解如何使用图表 - 您只需要正确构建它。设字符串的字母是顶点，字母的顺序将定义边。这意味着，ab将表示顶点a和b以及a和b之间的连接。当然，连接是有针对性的（即如果a与b相关联，那并不意味着b与a相关联，所以ab是a --> b）

在这些定义之后，您将能够构建所有图形。对于你的样本：

- 足够简单。但是abcd也可以用两个长度为ab, ac, ad, bc, bd, cd的字符串表示 - 所以我也会为此显示图表（它只是为了更清晰）：

然后，要找到您的解决方案，您需要在此图表中find a path with maximal length。显然，NP的硬度来源于＃34;。从上述两种情况来看，如果我们从4顶点开始并遍历图形直到找到a路径，则最大长度为a->b->c->d。

转角案例

非唯一解决方案：实际上，您可能会遇到无法严格定义超集的字符串集。示例：ab, ad, bd, ac, cd。 abcd和acbd都适合这些子字符串。但是，实际上，这不是太糟糕的问题。看图：

（我已经选择了原因：它就像第二张图，但没有一个连接，这就是为什么结果不明确）。最大路径长度现在为3 - 但可以使用两个路径：abd和acd来覆盖。那么如何恢复至少一种解决方案呢？简单：因为结果字符串将具有相同的长度（来自我们已经找到它们的方式的定义） - 我们可以从第一个字符串的开头走，并检查第二个字符串中的符号。如果他们匹配，那么它就是一个严格的符号位置。但如果他们不 - 那么我们可以自由选择当前符号之间的任何顺序。那将是：

[a] matches [a]，因此当前结果为a
[b]不匹配[c]，因此我们可以放置bc或cb。让它成为第一。然后结果为abc
[d]匹配[d]，因此当前结果为abc + d，即abcd

这是＆＃34;合并＆＃34;我们可以自由选择任何结果。但是，这有点扭曲，因为现在我们无法使用任何找到的路径 - 我们应该找到所有路径的最大长度（否则我们将无法恢复完全超级序列）

接下来，不存在的解决方案：可能存在某些字符串中的符号顺序无法用于重现超序的情况。显然，这意味着一个订单违反了其他订单，因此，将有两个字符串，其中两个符号具有不同的顺序。同样，最简单的情况：abc, cbd。在图表上：

- 即将到来的结果将是图形循环 - 它可能不那么简单（如上图所示） - 但它总是在订单被打破的情况下。因此，您需要意识到的是找到graph cycle。事实上。这不是你必须单独做的事情。您只需在图表最长路径搜索中添加周期检测。

第三：重复符号：这是最棘手的案例。如果字符串包含重复的符号，那么图形创建会更复杂，但仍然可以完成。例如，我们有三个条件：aac, abc, bbc。解决方法是aabbc。如何构建图表？现在我们不能只添加链接（至少因为循环）。但我建议采取以下方式：

让我们处理所有字符串，为符号分配索引。每个字符串重置索引。如果符号仅出现一次，则索引将为1。对于我们的字符串，意思是：a ₁ a ₂ c ₁，₁ b ₁ c ₁和b ₁ b ₂ c ₁。之后，为我们找到的每个符号存储最大索引。对于上面的示例，2为a，2为b，1为c
如果两个连接的索引符号具有相同的原始符号，则连接完成＆＃34;按原样＃34;。例如，₁ a ₂将只生成一个从₁到₂的连接
如果两个连接的索引符号具有不同的原始符号，则任何第一个索引符号可以连接到任何第二个索引符号。例如，b ₁ c ₁将导致（b ₁到c ₁）连接和（b < sub> 2 到c ₁）连接。我们如何知道索引符号的数量？我们已经完成了第一步（即找到最大索引）

因此，上面示例的图表将如下所示：

          +------------+
          |            |
          |            |
 +------>[a2]------+   |
 |        |        |   |
 |        V        V   |
[a1]---->[c1]<----[b2] |
 |        ^        ^   |
 |        |        |   |
 +------>[b1]------+   |
          ^            |
          |            |
          +------------+

- 对于路径a ₁ a ₂ b ₂ b 5 > 1 c ₁和₁ a ₂ b ₁ b _{2 C <子> 1 。我们可以选择其中任何一个，忽略结果字符串aabbc中的索引。}

Answer 3

也许没有通用的高效算法这种问题。但这是针对这一特定问题的解决方案projecteuler 79。您想观察输入文件。您会发现7仅出现在所有序列的开头，因此7应放在开头。然后你会发现数字3是开头唯一的字符，然后你将3放在第二个位置。等等，您可以获得73162890。特殊情况是最后2个数字，0和9都在开头，然后您有2个选项。然后你尝试两者并获得90是最佳解决方案。

更一般地说，您可以使用深度优先搜索算法。诀窍是当你发现只有一个角色出现在开头时，只需选择它，它就会最佳解决方案的途径。

Answer 4

我认为我们可以从图表开始我不确定是否正确，但是如果我们使用a-> b建立图表，如果b在a之后，所有路径的长度为1。现在，我们必须找到最长的距离（DFS可以帮助）我将尝试提供示例。

说字符串是：

ABC
  ACD
  BCD
  BCE

我们形成一个图表：
enter image description here
现在剩下的主要事情是组合节点e和d，因为所需的字符串可以是abcde或abced。

这是我不知道该怎么办，所以也许有人可以提供帮助！

很抱歉发布此答案，评论不能包含图片。

Answer 5

从子序列中构造图形，然后使用DFS在O（E）中找到图形的拓扑排序，以获得所需的最短长度的字符串，其中包含所有子序列。但正如您所注意到的那样，如果图形具有循环，那么拓扑排序是无效的，那么循环中的字符需要重复，这很难解决。

结论： - 如果图表中没有周期并且在O（E）中解决它就会很幸运，否则就会变得不走运并最终做蛮力。

从其子序列的集合中构建最短的字符串

5 个答案:

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转角案例