按位异或两个数字会导致数字的总和或差异

Question

当我对任何两个数字进行异或时，我得到它们的差值或总和的绝对值。 我在Google上搜索了很多，试图找出相关的公式。但是没有明显的公式或陈述。

示例：

10 XOR 2 = 1010 XOR 10 = 1000(8)
 1 XOR 2 =   01 XOR 10 =   11(3)

所有数字都适用吗？

Answer 1

不，它并非总是如此。

6 = 110
3 =  11
   ----
XOR 101 = 5

SUM   9
DIFF  3

这绝不是一个完整的分析，但这就是我所看到的：

对于您的第一个示例，1010的最低有效位与10的位相同，这将导致您在XORing时获得差异。

对于你的第二个例子，所有相应的位都不同，这将导致你在XORing时获得总和。

为什么这些属性应该很容易看到。

Answer 2

如Dukelings的回答和CmdrMoozy的评论所示，并非总是如此。如你的帖子所示，至少有时是真的。所以这里有一个稍微详细的分析。

+ - 侧

显然，如果（但不仅如此）(x & y) == 0然后(x ^ y) == x + y，因为
x + y = (x ^ y) + ((x & y) << 1)

这说明了3个 ³² 个案（对于每个位位置，有3个选项导致AND之后的0）(x ^ y) == (x + y)。

然后有(x & y) != 0的情况。这些案件正是这样的案例 (x & y) == 0x80000000，因为最高位的执行是唯一不影响任何事情的进位。

增加了3个 ³¹ 个案（31个位置有3个选择，最高位只有1个选择）。

- - 侧

对于减法，存在鲜为人知的身份x - y == (x ^ y) - ((~x & y) << 1)。

这与添加真的没什么不同，而且分析几乎相同。这一次，如果（但不仅仅是）(~x & y) == 0那么(x ^ y) == x - y。 ~不会改变案例数：仍然是3 ³² 。其中大多数情况与以前不同，但并非全部（考虑y = 0，然后x可以是任何事情）。

还有3个 ³¹ 额外的案件，这次来自(~x & y) == 0x80000000。

双方

+和-方并不是不相交的。有时，x ^ y = x + y = x - y。只有在y = 0或y = 0x80000000时才会发生这种情况。如果y = 0，x可以是任何内容，因为(x & 0) == 0和(~x & 0) == 0适用于所有x。如果y = 0x80000000，x可以再次成为任何内容，这次因为x & 0x80000000和~x & 0x80000000可以同时为0或0x80000000，两者都很好

这给出了{sup> 33 个案x ^ y = x + y = x - y。

它还给出了（3 ³² + 3 ³¹ ）* 2 - 2 ³³ 的情况x ^ y为{{1 }或x + y或两者，分别为4941378580336984或基数为16,118e285afb5158，这也是this site给出的答案。

这种情况很多，但只有大约0.02679％占2 ⁶⁴ 的总空间。

Answer 3

实际上，您的观察结果有一个有趣的答案，可以解释为什么您要观察这么多的数字。
a + b和a ^ b之间存在关系。它是由

给出的

a + b = a^b + 2*(a & b)

因此，

a^b = a + b - 2*(a & b)

（其中^是bitwise XOR，而&是按位AND）
请参阅此link，以了解有关上述关系的更多信息。因此，对于每个a和b，在a & b = 0处将得到a+b = a^b，它解释了总和部分。并且如果a & b不等于0，则说明了差异部分。希望它能澄清您的问题！ ：D