Question

这是我难以理解的最低成本路径动态规划问题的变体。

我给了一个成本矩阵mxn。成本矩阵具有正缓冲和随机放置的负成本。我从[1,1]开始，必须去[m，n]。我从一个初始缓冲区x开始。在我的遍历过程中，我的缓冲区x永远不应该是＆lt; = 0.如果它变为＆lt; = 0即使最终状态是一个正缓冲区也是一个无效路径（想象它就像一个以初始健康状态开始的玩家，负面成本扣除健康，积极的缓冲增加健康）。什么是我可以开始的最小初始缓冲区，使其达到[m，n]而中间没有任何0缓冲区（例如，最小初始运行状况，以便玩家可以完成路径而不会死亡）

Answer 1

假设H[i, j]是玩家从平方(i, j)开始时所需的最低健康状况。我们对H[1, 1]感兴趣，这是起始广场所需的最低健康状况。

我假设成本矩阵M中的所有值都是整数。因此，最小的积极健康状况是1。

在踩到最后一个方格之前所需的健康状况很容易：如果该方格中的值为正，我们需要1，否则我们至少需要比减去的更多：

H[m, n] = max(1 - M[m, n], 1)

其他简单的是矩阵的边缘：M[m, i]和M[j, n]用于任意i和j。如果当前值为负，我们必须增加所需的健康缓冲区，否则我们可以减少它（但绝不会超过1）：

H[m, i] = max(H[m, i+1] - M[m, i], 1)
H[j, n] = max(H[j+1, n] - M[j, n], 1)

在矩阵的中心，我们有两个选择（向右和向下），所以我们采取最少的选择：

H[i, j] = min(max(H[i, j+1] - M[i, j], 1),
              max(H[i+1, j] - M[i, j], 1))

就是这样！将此转换为代码非常简单（假设M，m和n已给出且M从1开始）：

int[] H = new int[m, n];

H[m, n] = max(1 - M[m, n], 1);

// remember to loop backwards
for (int i = m-1; i >= 1; i--)
    H[m, i] = max(H[m, i+1] - M[m, i], 1);
for (int j = n-1; j >= 1; j--)
    H[j, n] = max(H[j+1, n] - M[j, n], 1);

// again, loop backwards
for (int i = m-1; i >= 1; i--)
    for (int j = n-1; j >= 1; j--)
        H[i, j] = min(max(H[i, j+1] - M[i, j], 1),
                      max(H[i+1, j] - M[i, j], 1));

return H[1, 1];

通过具有正负成本的成本矩阵的最小成本路径

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