Question

我对这个问题感到有些困惑。似乎每一步，问题的大小减少了一半，这表明O（logn）。但是如果你真的想到它，那么交互的数量只是几何系列2 + 4 + 8 + ...小于n，这表明O（n）。有人可以提供他们的见解吗？

for (int i=1; i < n; i=2i)
    for (int j=i; j < n; j++)
        // do something

Answer 1

看起来完全是sum(sum(1, j = (2^i)..n), i = 1..log(n)) = nlog(n) - 2n + log(n) + 2 = O(n log n)

Answer 2

复杂度为O（n log n）

首先获得更多清关，例如：当n为4时，外循环迭代2次当n为64时，ouret循环迭代6次所以外循环迭代log2（n）次。

解决方案：在外循环的第一次迭代中，“do somethings”语句运行n次在外循环的第二次迭代中，“do somethings”语句运行n-2次在外循环的最后一次迭代中，“do somethings”语句正在运行n-log2（n）次

因此，对于程序的总执行，“do somethings”语句运行n + n-2 + n-4 + ... + n-log2（n）次。它等于n * log2（n） - （1 + 2 + 4 + 8 + ... + log2（n））= n * log2（n） - （2n-1）倍。所以复杂性是o（n log n）

Answer 3

假设do something为Theta(1)，则算法应为Theta(nlog(n))，如U2EF1所示。

以下解释了如何找到双重求和的闭合公式：

Sum p in [1, logn] (Sum j in [2^p, n] 1) =
Sum p in [1, logn] (n - 2^p) =
nlogn - Sum p in [1, logn] (2^p) =
nlogn - Theta(n) =
Theta(nlogn)

特别是，您可以使用closed form评估几何系列中第一个n项的最终总和。或者您可以使用更有限的变体，例如＆＃34;将n视为二进制数字，例如1111，并注意如果您对每个幂2^p求和p = 1 to log(n)然后您再次获得n＆＃34;。

封闭表单足以证明Theta绑定，但您需要在复杂性分析中使用其他常见引理来显示Theta(nlogn) - Theta(n) = Theta(nlogn)等步骤。

Answer 4

解决这个问题的一个好方法是分别计算内部和外部循环的复杂性。一旦你这样做，你就可以计算两者的乘积来得到总的复杂性。

您还可以根据每个循环中需要多少步骤来考虑这一点，这可以作为方法的良好健全性检查。通过与之前相同的逻辑，可以清楚地看到，由于i几何增长，该循环中实际发生的迭代次数将与此相反，或O(log n)。

如果您想查看给定n将运行多少内部循环，很明显，因为每n只有一个步骤，内部循环将是线性的给出外循环的结果。这给出了O(n)

的复杂性

此方法返回O(n log n)

的结果

是运行时o（logn）还是o（n）？

4 个答案: