Question

我在坐标系中绘制了两组点。一组中的每个点必须与另一组中的至少一个点匹配，其方式是通过连接这些点绘制的线的长度之和应该尽可能低。为了说清楚，线条图只是一个抽象，实际输出只是必须匹配的点对。

我见过this question关于类似问题，但在我的情况下没有单链接限制，因为这些集可能有不同的大小。有没有描述这种情况的问题？更具体地说，我可以使用什么算法来解决这个问题，假设每个集合最多可以有10个点？

Answer 1

算法

您可以将此建模为网络流量问题。

通过在第一组中的每个点处具有1的源，并且在第二组中的每个点处具有1的接收器，以及针对任何剩余容量的额外节点“dest”，任何有效流将始终连接每个点。

根据点之间的距离在成本点之间建立边缘。

到目前为止，我们有一个网络，其解决方案是第1组到第2组的最低成本匹配（即每个点都有一个链接）。

要允许多个链接，您只需添加以下内容：

在set2和'dest'中的每个点之间添加0个权重边（这允许第2组中的点多重连接）
在'dest'和set2中的每个点之间添加0个权重边（这允许集合1中的点多重连接）

使用Networkx的示例Python代码

import networkx as nx
import random

G=nx.DiGraph()

set1=['A','B','C','D','E','F','G','H','I']
set2=['a','b','c']
# Assume set1 > set2 (or swap sets)
assert len(set1)>=len(set2)

G.add_node('dest',demand=len(set1)-len(set2))
A=[]
for person in set1:
        G.add_node(person,demand=-1)
        G.add_edge('dest',person,weight=0)
        for project in set2:
                cost = random.randint(1,10) # Assign appropriate costs here
                G.add_edge(person,project,weight=cost) # Edge taken if person does this project

for project in set2:
        G.add_node(project,demand=1)
        G.add_edge(project,'dest',weight=0)

flowdict = nx.min_cost_flow(G)
for person in set1:
        for project,flow in flowdict[person].items():
                if flow:
                        print person,'->',project

Answer 2

您可以使用离散优化方法（Integer Programming）。

我们有两个大小为X的集合A和大小为Y的B.这意味着最多的X * Y个链接，每个都由一个布尔变量描述：L（i，j）= L（Y * i +如果节点A（i）和B（j）被链接，则j）为1，否则为0。如果X = Y = 10，我们可以将链接L（7,3）写为L73。

我们可以像这样重写这个问题：

节点A（i）至少有一个链接：X（比方说，十）标准，i从0到X-1，每个都包含Y个分量：

    L(i,0)+L(i,1)+L(i,2)+...+L(i,Y-1) >= 1

Node B(j) has at least one link, and there are Y criteria made up of X components:

    L(0,j)+L(1,j)+L(2,j)+...+L(X-1,j) >= 1

最低成本要求变为：

cost = SUM(C(0,0)*L(0,0)+C(0,1)*L(0,1)+...+C(9,9)*L(9,9)

通过这些约定，我们可以轻松地为ILP问题构建矩阵，可以将其传递给我们最喜欢的ILP求解包或库（C，Java，Python，甚至PHP）。

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一个独立的“贪婪”算法不保证找到最小值，但相当快， 应该给出合理的结果，除非你提供病理数据设置，是：

- connect all points in the smaller set, each to its nearest point in the other set. - connect all unconnected points remaining in the larger set, each to its nearest point in the first set, whether it's already connected or not.

作为优化，您可以枚举较大数据集中的点;如果其中一个（比如说A）单独连接到第一个数据集中的一个点（比如B），它是多重连接的，并且不是它最近的邻居C，你可以将链接从A-B切换到A-C。这解决了算法“贪婪”可能引起的最简单问题之一。

匹配两个不同大小的集合中的每个点，总线长度最小

2 个答案:

算法

使用Networkx的示例Python代码