伪代码片段的时间复杂度

Question

我不是故意要求简单的帮助，但我似乎无法弄清楚如何回答这个问题。

Compute the time complexity of the following program 
fragment: 
sum = 0; 
for i=1 to n do 
  for j=1 to i do 
    k = n*2 
    while k>0 do 
      sum=sum+1; 
      k = k div 2; 

我认识到while循环中的内容需要O（1），while循环需要O（logn），但是我不遵循连接到嵌套for循环的方式，因为我习惯于做用于for循环的嵌套sigma符号。

谢谢！

Answer 1

以下是打破此功能复杂性的一些提示：

1. 查看内部循环，其中k=n*2。让我们假设n=8所以k=16，k一直被除以2，直到它为0或更小（我假设舍入0.5得到0）。因此，直到循环结束时描述k的系列将是16,8,4,2,1,0。如果您知道第一个值是k，请尝试考虑哪个函数描述了本系列中的元素数量。

2. 你有两个嵌套for循环，第一个循环只迭代n次，然后第二个（内部）循环迭代，直到它达到第一个循环的迭代次数（由{{1表示） }}），这意味着首先它将迭代一次，然后两次，依此类推，直到i。因此，第二个循环执行的迭代次数可以由系列描述：n。这是一个非常简单的arithmetic progression，这个系列的总和将为您提供内部for循环的迭代总数。这也是你调用内部while循环的次数（它不受当前迭代次数的影响，因为1, 2, 3, ... , n取决于k，它是常量而不是n或i）。

Answer 2

正式演示，逐步显示算法增长的顺序：