优化算法，找到所有局部最大值

Question

我目前正在研究用于查找所有局部最大值的算法的时间复杂度。根据{{​​3}}，1D阵列的时间复杂度为O（log N）。是仅仅找出一个最大值？

如果我想找到所有最大值怎么办？有没有办法找到复杂度小于蛮力法O（N）的所有复合物？

谢谢。

Answer 1

正如我在评论中所述，对于[1,2,1,2,...]的反例，有O(n)局部最大值，因此输出大小本身为O(n)。

另一种证明找到所有局部最大值的方法是Omega（n）问题，如下所示。

首先，请注意找到全局最大值是Omega（n）问题。
现在，我们将代表以下算法来解决数组A中的全局最大值：

1. 在A
中查找所有本地最大值
2. 将（1）中找到的元素视为新数组A。
3. 如果尺寸（A）> 1 - 返回1
4. else：A中唯一的元素是全局最大值。

算法的正确性非常简单，我们迭代地丢弃元素，并且永远不会丢弃全局最大值。

复杂度：

• 请注意，在每个步骤中，至少删除size(A)/2个元素 （为什么？）
• 这为我们提供了O(d(n)) + O(d(n/2)) + O(d(n/4)) + ... + O(d(1))
的复杂性
• 上述O(d(n))是最佳“查找所有局部最大值”算法的复杂性（步骤1）。
• 现在，鉴于这一事实，并假设（朝向矛盾）d(n)在o(n) [小o符号，d(n)渐近“弱” n）] - 我们认为d(n) + d(n/2) + ... + d(1)位于o(n + n/2 + ... + 1) = o(2n) = o(n)

因此，我们在o(n)算法中解决了全局最大值，但它是Omega(n)问题 - 矛盾。
因此，步骤1中的算法必须是Omega(n)。

Answer 2

amit的下限是正确的，但没有那么有趣，因为正在考虑的实例可能具有Omega（n）局部最大值。

事实证明，在计算的随机细胞探针模型与不经意的对手中，即使发现第二个局部最大值也需要Omega（n）探针预期。从数组1..n开始，随机选择其中一个元素增加2.这使得第二个局部最大值（除非选择了最后一个元素），第一个当然是最后一个元素数组。该算法在探测到扰动位置之前不会了解第二局部最大值的位置。通过姚明的引理，一些确定性算法对这个不经意的对手是最优的，因此找到第二个局部最大值的预期时间至少是（n + 1）/ 2个探测器。