我有一个家庭作业问题，要求我们证明2n + 5是O（n²）。
这就是我尝试解决的问题：
我选择k = 1并假设n> 1那么 f（n）/ g（n）=（2n + 5）/ n 2＆lt; （2n + 5n）/n²= 7n/n²= 7 / n
因此，C等于7 / n 因此，2n + 5 <=（7 / n）（n 2），所以2n + 5 <= 7n，这对于所有n> 1都是正确的。 1。 这就是为什么2n + 5是O（n²）。
我只是不确定这是否正确。我不是百分百肯定，但如果有人能证实那会很棒。
另外，我对另一个要求简化为theta表示法的问题感到困惑：
（X 4.2 ）/（1 + X 2）。那只是Θ（x 2.2 ），因为我只是把它评估为无穷大？
另外，x³⋅lg（x）我不知道从哪里开始。
提前致谢！
答案 0 :(得分：2)
（最后有一个关于你的问题的TLDR，我想我也会给你一些关于big-O的信息）
也许比形式主义更明显的东西：这个O符号的东西应该根据它们的增长来比较函数。如果你根据它们的增长来比较多项式，那么你需要看的就是最高指数（即它们的“度”）：如果它们具有相同的度数，那么它们就会以相同的速度增长。如果一个人的学位高于另一个学位，那么学位较高的人比另一个学位的人增长得快。
所以从那个和一些中学数学，我们立即知道2n + 5 = O（n ^ 2）因为任何二次函数（n ^ 2的正因子）在某一点上超过任何线性函数。< / p>
现在回到形式主义;我们还希望捕捉到两个函数“大致同样快速”增长的想法。例如，正增长的所有线性函数大致同样快速增长。为此我们想要引入比例因子c：如果f（n）＆lt; = c * g（n），我们说f = O（g）。通过这种缩放，我们立即看到所有线性函数“大致相同地快速增长”：取f（n）= a * n + b和g（n）= k * n + d，然后可以使用缩放因子重新缩放g a / k得到a / k * g（n）= a * n + d * a / k;所以现在a / k * g（n）和f（n）增长同样快，它们的绝对差值减小到一个恒定值。
对于线性和二次函数，我们不能这样做;无论我们如何重新调整线性函数，二次方将总是增长得更快。例如，你可以从它们的衍生物中看出来;线性函数的导数是常数，而二次函数的导数是线性函数，因此二次函数的增长总是增加而线性函数的增长保持不变。
big-O定义的最后一部分是关于“对于所有n＆n; n_0对于某些n_0”的位;我们这样做的原因是因为即使g增长得比f快，最初f可能具有更高的值。比较例如g（n）= n ^ 2和f（n）= n + 2 ^ 200。最初，无论您重新缩放多少，f（1）都将大于c * g（1）。我们不想打扰这样的东西，所以我们说“如果在某些时候c * g高于f并且保持在它之上，这对我们的目的来说已经足够了”。那就是“（存在这样的那样）存在n_0，使得对于所有n＆gt; n_0：f＆lt; = c * g”进来。
现在回到你的问题：你想表明有一个c和一个n_0，所有n＆gt; n_0，我们有2n + 5＆lt; = c * n ^ 2。现在你必须确保c是一个NUMBER而不是一个函数，所以设置c = 7 / n是不可能的。但你实际上可以选择一个任意的积极的c，看看你是否可以解决不公平问题;我将以c = 3显示它：
2n + 5 <= 3 * n ^ 2
0 <= 3 * n ^ 2 - 2n - 5
现在3 * n ^ 2 - 2n - 5的根是10/6和-1，这意味着在-1之前，不等式成立，在-1和10/6之间我们低于0，并且在10之后6不平等再次成立。这意味着我们选择10/6之后的第一个自然数作为n_0，因此得到n_0 = 2.
关于x ^ 4.2 /（1 + x ^ 2），得到0.5 * x ^ 2.2 = x ^ 4.2 /（2x ^ 2）＆lt; x> 4.2 /（1 + x ^ 2）对于x> 1和x ^ 4.2 /（1 + x ^ 2）＆lt;所有正x的x ^ 4.2 / x ^ 2 = x ^ 2.2。
对于x ^ 3 lg x，你已经完成了，实际上没有更简单的表达式。你当然可以在不使用对数的情况下给出上限，但是你并不需要。
答案 1 :(得分：1)
2n + 5是O（n ^ 2）
如果你选择k = 1，那么你需要找到n0这样，对于所有n＆gt; n0，n ^ 2> 2n + 5.例如n0 = 4。 另一种方法是当n - >时评估lim 2n + 5 / n ^ 2。 INF。因为lim（n-> inf）2n + 5 / n ^ 2 = 0，我们可以说2n + 5是o（n ^ 2）（小o），这意味着大O符号2n + 5是O（n ^ 2）。
（x ^（4.2））/（1 + x ^ 2）可以合理地说它是Theta（x ^ 2.2），因为你可以找到常数k1，k2这样所有x> x0，k1 * x ^ 2.2＆lt; =（x ^（4.2））/（1 + x ^ 2）＆lt; = k2 * x ^ 2.2。
<强>的x ^ 3 * LG（x）的
最合理的答案是x ^ 3 * lg（x）是O（x ^ 4），因为lg（x）是O（x）和大O符号product property。