Question

我有一个由法线（n）和距离（d）（从原点）定义的平面。我想把它变成一个新的系统。漫长的道路是这样的： 1）将距离（d）乘以法线（n）得到一个向量（p） 2）旋转（R）并平移（v）矢量（p）得到（p'） 3）归一化（p'）以获得正常 4）使用另一种算法来找到新平面和原点之间的最小距离（d'）

我没试过，但我想它应该可行。题：得到n'和d'有没有更快的方法？如果翻译（v）是0而不是我可以跳过4）。但如果它不是0？是否有更简单的方法来获得新的d'？

Answer 1

你需要小心，因为法线不一定像点那样变换，距离是与原点的垂直距离，所以你必须计算d'= d + n.v。如果你所做的只是平移和旋转，那么你可以旋转法线并计算一个新的垂直距离。但是，如果你以不同的方式缩放你的轴，或进行一般的投射变换，那么你需要以不同的方式对待事物。

适用于所有事物的方法是使用齐次坐标，因此所有变换都是4x4矩阵，并且你的点和平面都是4矢量：

point p=(x,y,z)        -> homogeneous (x,y,z,1), equiv. to (x*W, y*W, z*W, W)
plane q=[n=(a,b,c), d] -> homogeneous [a,b,c,d], equiv. to [a*K, b*K, c*K, d*K)

  -> point p is on plane q iff:  p.q=0   (using homogeneous coords, as above)

通常，您将所有变换矩阵乘以一个4x4矩阵T，并在每个点上使用该矩阵，以确定其最终变换位置。诀窍是，您需要使用T的逆转置来转换平面坐标。从下面的内容可以看出，这可以保留点和平面之间的发生率：

point p' = T p
plane q' = (T^-1)^t q

  -> point p' is on plane q' when:  p'.q'=0

  then, note:  p'.q' = p^t T^t (T^-1)^t q = p^t q = p.q
  so:  p'.q'=0  whenever p.q=0

Answer 2

n' = n*R^T
d' = d - n*R^T*trans

如何在3D中有效地旋转和平移平面

2 个答案: