Question

假设一个数组 arr [1..N] 的整数。数组以两种方式更改：

正在覆盖值
项目被视为无效（例如，通过设置特殊值-1）

我正在寻找能够回答＆＃34; k - 有效项目是什么的数据结构？＆＃34;快。

使用单个无效值，这是微不足道的。有许多这样的价值观，它变得有点纠结。

我尝试保留一个辅助数组，其中包含无效索引1和0。我可以保留此数组的前缀和，并在 O（log n）时间查询它们。然后我知道在1和 k 之间存在 sum（k）无效项，因此 k -th项实际上在 k + sum（k）。但是，在 k 和 k + sum（k）之间，可能会再次出现一些无效项 - 而且会变得很丑陋。

这个问题是否有更好的解决方案，可能是在 O（log n）时间？

度过美好的一天！

Answer 1

您可以使用包含索引的订单统计信息树（例如，基于RB或其他平衡搜索树）。删除和搜索都需要O（logN）时间

Answer 2

如果您只在order statistics tree（除了数组）中存储有效索引（实际索引，而不是那些索引处的元素），那么将允许在O中获取第k个项目（记录n）时间。

订单统计树基本上是binary search tree（具体来说是self-balancing one以获得所需的性能），但每个节点存储一个附加值，该值是以该节点为根的子树的大小（即它下面的节点数。）

这同样允许在O（log n）时间内通过简单的BST删除操作进行无效。

覆盖需要O（1）时间 - 不需要对树进行任何更改。

同时拥有数组和顺序统计树并不是必需的 - 您也可以让树节点包含元素，但这会使覆盖取O（log n）而不是O（1）。

Answer 3

我尝试保留一个辅助数组，对于无效索引包含1，否则为0。我可以为这个数组保留前缀和，并在O（log n）时间内查询它们。然后我知道在1和k之间存在和（k）无效项，因此第k项实际上是k + sum（k）。但是，在k和k + sum（k）之间，可能会再次出现一些无效的项目 - 而且会变得很难看。

您可以使用binary-indexed tree来维护前缀和，并快速选择辅助数据结构中的查询：

int tree[N+1] = {0}; // initially everything is invalid
void validate(int i, bool v=1) {  // v = 1: validate, v = 0: invalidate
  for (; i <= N; i += i & -i) 
    tree[i] += v ? 1 : -1;
}
int kth(int k) { // find kth valid index (argument and result 1-based)
  int ans = 0;
  for (int i = logN; i >= 0; --i) // logN = largest i s.t. (1<<i) <= N
    if (ans + (1<<i) <= N && tree[ans + (1<<i)] < k) {
      ans += 1<<i;
      k -= tree[ans];
    }
  return ans+1;
}
// validate everything
for (int i = 1; i <= N; ++i)
  validate(i);

由于较低的常数因子，两个操作都是O（log n）并且比二叉搜索树快得多。这很神奇。

保持数组索引的变化

3 个答案: