Question

设A是一个点，我有三维坐标x，y，z，我想将它们转换为二维坐标：x，y。投影应在由给定法线定义的平面上正交。平凡的情况，其中法线实际上是其中一个轴，它很容易解决，只是简单地消除了一个坐标，但其他情况如何更容易发生呢？

Answer 1

如果目标点 P 的坐标为r_P = (x,y,z)，平面为n=(nx,ny,nz)，则需要在平面上定义原点，以及两个正交方向适用于x和y。例如，如果您的原点位于r_O = (ox, oy, oz)且平面中的两个坐标轴由e_1 = (ex_1,ey_1,ez_1)，e_2 = (ex_2,ey_2,ez_2)定义，则正交性具有Dot(n,e_1)=0，Dot(n,e_2)=0， Dot(e_1,e_2)=0（矢量点积）。请注意，所有方向向量应进行标准化（幅度应为1）。

您的目标点 P 必须遵守以下等式：

r_P = r_O + t_1*e_1 + t_2*e_2 + s*n

其中t_1和t_2是e_1和e_2以及s的2D坐标，是平面和点之间的正常间距（距离）。

根据预测发现了标量：

s = Dot(n, r_P-r_O)
t_1 = Dot(e_1, r_P-r_O)    
t_2 = Dot(e_2, r_P-r_O)

具有平面原点r_O = (-1,3,1)和正常的示例：

n = r_O/|r_O| = (-1/√11, 3/√11, 1/√11)

您必须为2D坐标选择正交方向，例如：

e_1 = (1/√2, 0 ,1/√2)
e_2 = (-3/√22, -2/√22, 3/√22)

这样Dot(n,e_1) = 0和Dot(n,e_2) = 0以及Dot(e_1, e_2) = 0。

点 P r_P=(1,7,-3)的2D坐标为：

t_1 = Dot(e_1, r_P-r_O) = ( 1/√2,0,1/√2)·( (1,7,-3)-(-1,3,1) ) =  -√2
t_2 = Dot(e_2, r_P-r_O) = (-3/√22, -2/√22, 3/√22)·( (1,7,-3)-(-1,3,1) ) = -26/√22

和平面外分离：

s = Dot(n, r_P-r_O) = 6/√11

Answer 2

Find the projection of A onto the normal direction。然后从A中减去该投影。剩下的是A在正交平面上的投影。

A在单位法线方向n上的投影由下式给出：

(A · n) n

如果A = (x, y, z)和单位法线由n = (nx, ny, nz)给出，则A到n的投影是

(x*nx + y*ny + z*nz) n

因此A在正交平面上的投影是

A - (A · n) n
= (x, y, z) - (x*nx + y*ny + z*nz) (nx, ny, nz)

例如，如果A =（1,2,3）且n是方向上的单位法线（4,5,6），那么

In [12]: A
Out[12]: array([1, 2, 3])
In [17]: d
Out[17]: array([4, 5, 6])

In [20]: n = d/sqrt(4*4 + 5*5 + 6*6)   # make n a unit vector
In [13]: n
Out[13]: array([ 0.45584231,  0.56980288,  0.68376346])

因此A在正交平面上的投影是

In [15]: A - np.dot(A,n)*n
Out[15]: array([-0.66233766, -0.07792208,  0.50649351])

如何找到二维坐标：

您需要在正交平面上定义2D坐标系。换句话说，您需要定义x-axis和y-axis的位置。例如，您可以将x-axis定义为（1,0,0）到正交平面上的投影（使用上面显示的计算）。除非在（1,0,0）垂直于平面的退化情况下，否则这将起作用。

一旦您拥有x和y轴方向的单位向量，就可以将A直接投射到x和y。这些矢量的大小是2D坐标。

例如，这是（1,0,0）投影到平面上。我们将其作为x轴方向：

In [42]: x = np.array([1,0,0])    
In [45]: x = x - np.dot(x, n) * n
In [52]: x /= sqrt((x**2).sum())   # make x a unit vector    
In [53]: x
Out[53]: array([ 0.89006056, -0.29182313, -0.35018776])

这里我们计算y轴方向：y-axis方向必须垂直于法线方向n和x。因此，我们可以将y定义为n和x的{{3}}：

In [68]: y = np.cross(n, x)

In [69]: y
Out[69]: array([ -2.77555756e-17,   7.68221280e-01,  -6.40184400e-01])

以下是平面中A的坐标：

In [70]: np.dot(A, x), np.dot(A, y)
Out[70]: (-0.74414898890755965, -0.38411063979868798)

将3D点投影到2D平面

2 个答案: