Question

我试图通过不同的方法找到算法的复杂性。在数学上我遇到了一个O（m + n）和另一个O（mn）方法。但是，我无法掌握或说出这一点。这不像是我看着他们并得到“啊！这就是发生了什么”的感觉！有人可以使用他们自己的例子或任何其他工具解释这个吗？

Answer 1

O(m+n)示例：

for(int i = 0, i < m, i++)
    //code
for(int j = 0, j < n, j++)
    //code

m迭代代码发生。然后n迭代代码发生。

O(mn)示例：

for(int i = 0, i < m, i++)
    for(int j = 0, j < n, j++)
        //code

对于m的每次迭代，我们都有n次代码迭代。想象一下迭代非方形2D数组。

m和n不一定等于相同的值。如果等于相同的值，那么对于O(m+n)：

O(m+n) => O(m+m) => O(2m) => O(m)

我建议您查看this question/answer以了解最后一次过渡。

对于O(mn)：

O(mn) => O(mm) => O(m^2)

Answer 2

我对寻找直觉的建议被认为是如下实验：

首先，要意识到m和n是两个输入的不同测量值。它们可能是两个输入流的长度，矩阵边长，或同一数据结构的两个不同属性的计数，例如同一图的边和节点数，或任何类似的度量。

直觉是big-O在一个简单的函数方面表达了算法 true 运行时（或者其他一些方面，如比较计数或所需空间）的界限 - 调用R（m，n） - 乘以某个任意常数。我们忽略常数因子，并通过调用它们的运行时间O（R（m，n））来考虑由同一个R作为族的所有算法。

因此，大O（m + n）表示对于适当大的m和n，实际运行时间受某些函数R（m，n）= C（m + n）的限制。对于图形示例，这表示算法的实际运行时间将受顶点数和边数之和的倍数限制。

您可以将边界函数视为具有轴m，n和R（m，n）的3d图形。或者你可以想到图表：

R(m,n) = m + n
--------------
m=  1  2  3  4
n=1 1  2  3  4
  2 3  4  5  6
  3 4  5  6  7
  4 5  6  7  8

对于R（m，n）= mn，你有

R(m,n) = mn
--------------
m=  1  2  3  4
n=1 1  2  3  4
  2 2  4  6  8
  3 3  6  9 12
  4 4  8 12 16

作为一个三维图形，第一个函数是一个平面，第二个函数几乎在所有点上都是一个快速增长的函数。这意味着如果m和n增长得足够大，O（mn）界限最终会比O（m + n）更大（对应于可能更慢的程序），因为常数变得无关紧要。

对于快速增长成本的一个例子，假设O（m + n）算法在其运行时界限中具有3的额外常数因子（与上述两种算法相比，它在小输入上可能非常慢）： / p>

R(m,n) = 3(m + n)
--------------
m=   1  2  3  4
n=1  3  9 12 15
  2  9 12 15 18
  3 12 15 18 21
  4 15 18 21 24

所以O（m + n）看起来它的约束比上图中的O（mn）约束更少。但是看看m = n = 100的情况。这里O（m + n）算法的约束是3（m + n）= 600.但是具有小常数的O（mn）算法已经绑定了mn = 10000.显然，如果m和n很大，你想要第一个算法。

@Anonymous在本文的初始版本上提出了一个很好的观点，这让大O和大Theta感到困惑。 Big-O仅处理被测数量的边界或上限。例如，这意味着每个 O（n）算法也是O（n log n）和O（n ^ 2）。如果实际运行时间受到增长较慢的函数的限制，那么它也受到所有增长速度较快的函数的限制。

然而，人们常说'＃34;这种算法是O（n）＆＃34;而意味着界限紧。也就是说，对于某些常数C，Cn是运行时间的上限，并且对于某些其他常数D（并且适当地大的n），Dn也是下限。这种紧密界限适当地表示为Theta（n），而不是O（n）。 Theta（R（m，n））算法的运行时间（粗略地说）与R（m，n）成比例。

我最后补充说，在很多情况下你不能忽略常量。文献中存在许多渐近渐近的算法。比常用的常量，但常量如此之大，以至于对于实际问题，它们总是太慢。计算几何有很多例子。 Radix 2排序是另一种。它是Theta（n），但实际上一个好的快速排序（Theta（n log n）平均情况）将在大小至少为10 ^ 8整数的数组上击败它。

Answer 3

O（m + n）比O（mn）快很多（一个数量级）。

O（m + n）算法可以是迭代2组并对每个元素进行恒定时间（O（1））运算的算法。

O（mn）算法可以是迭代第一组的算法，并对第二组中的匹配元素进行线性搜索（O（n））。

O（mn）算法可能是教授们称之为天真的方法

O（m + n）和O（mn）之间的差异？

3 个答案: