big-O表示法中的n是什么？

Question

问题很简单，但我找不到足够好的答案。在the most upvoted SO question regarding the big-O notation上，它说：

  

例如，通常根据比较操作比较排序算法（比较两个节点以确定它们的相对排序）。

现在让我们考虑简单的冒泡排序算法：

for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (arr[j] > arr[j+1]) {
            switchPlaces(...)
        }
    }
}

我知道最坏的情况是O(n²)，最好的情况是O(n)，但究竟是什么n？如果我们尝试对已经排序的算法进行排序（最好的情况），我们最终什么也不做，那为什么它仍然是O(n)？我们仍在循环2个for循环，所以如果有的话，它应该是O(n²)。 n不能是比较操作的数量，因为我们仍然比较所有元素，对吗？

Answer 1

在分析排序算法的Big-O性能时，n通常表示您要排序的元素数量。

因此，例如，如果您使用冒泡排序对n项进行排序，则最坏情况下的运行时性能将为O（n ² ）的顺序操作。这就是为什么冒泡排序被认为是一种极差的排序算法，因为它不能随着要排序的元素数量的增加而很好地扩展。随着要排序的元素数量线性增加，最坏情况的运行时间会逐渐增加。

这是一个示例图，演示了当问题大小N增加时各种算法如何根据最坏情况运行时进行扩展。深蓝色线表示线性缩放的算法，而品红色/紫色线表示二次算法。

请注意，对于足够大的N，二次算法最终需要比线性算法更长的时间来解决问题。

取自http://science.slc.edu/~jmarshall/courses/2002/spring/cs50/BigO/的图表。

另见

• formal definition of Big-O。

Answer 2

我认为这里有两件事情变得混乱，n以及受到Big-O分析限制的n的功能。

按照惯例，对于任何算法复杂度分析，n是输入的大小，如果没有指定任何不同。对于任何给定的算法，输入大小有几个有趣的函数，可以计算asymptotic bounds，例如Big-O。

排序算法最常用的这种函数是最坏情况下的比较数。如果有人说排序算法是O(n^2)，而没有指定其他任何内容，我会认为它们意味着最差情况下的比较计数为O(n^2)，其中n是输入大小。

另一个有趣的功能是除了要排序的数组之外的工作空间量，空间量。冒泡排序的工作空间为O(1)，为常量空间，因为无论数组大小如何，它只使用一些变量。

冒泡排序可以编码为在最佳情况下仅进行n-1数组元素比较，通过任何不进行交换的传递完成。请参阅此伪代码implementation，该代码使用swapped来记住是否存在任何交换。如果数组已经排序，则第一遍不进行交换，因此排序在一次通过后结束。

Answer 3

n通常是输入的大小。对于数组，这将是元素的数量。

要查看不同的案例，您需要更改算法：

for (int i = arr.length - 1; i > 0 ; i--) {
    boolean swapped = false;

    for (int j = 0; j<i; j++) {
        if (arr[j] > arr[j+1]) {
            switchPlaces(...);
            swapped = true;
        }
    }

    if(!swapped) {
        break;
    }
}

您的算法的最佳/最差情况都是O(n^2)，但有可能提前返回，最好的情况现在是O(n)。

Answer 4

n是数组长度。您希望找到T(n)算法复杂度。

访问内存然后检查条件是非常昂贵的。因此，您将T（n）定义为访问存储器的数量。

在给定的算法中，BC和WC使用O（n ^ 2）访问内存，因为你检查if条件O（n ^ 2）次。

提高复杂性：持有一个标志，如果你没有在主循环中进行任何交换，这意味着你的数组已经排序，你可以休息一下。

现在，在BC中，数组已经排序，您可以访问所有元素，因此O（n）。 在WC中仍然是O（n ^ 2）。