证明最小周期覆盖的不可接近性

Question

考虑周期覆盖的问题：给定图G，我们寻找一组C周期，使得V（G）的所有顶点都在C的至少一个周期中，并且C中的周期数最小。

我的任务是表明这个问题不允许绝对近似，即，不存在算法H，使得对于问题的所有实例I，H（I）＆lt; = OPT（I）+ k，其中OPT（I）是I的最优值，k是大于或等于1的数。通常的技术是表明如果存在这个算法，我们可以在polinomial时间解决一些NP难问题。

有谁知道可以使用哪个问题？

Answer 1

假设有一个算法H，这样就有一个正整数k，这样对于每个图G，H(G)<=OPT(G)+k都成立，其中OPT(G)表示覆盖G的所有节点和H的运行时所需的最小周期数在n中以多项式为界，其中n是{{1}的节点数}}

给定任何图G，创建一个图G，其由G'的{​​{1}}同构副本组成;请注意k+1中的节点数为G，其在G'中以多项式为界。可能发生以下两种情况：

1. 如果(k+1)n包含哈密顿循环，则n和G。

2. 如果OPT(G')=k+1不包含汉密尔顿主义周期，则H(G')<=OPT(G')+k=k+1+k=2k+1因此G。

总的来说，OPT(G')>=2k+2>2k+1可以用来决定H(G')>2k+1中H包含哈密顿循环的运行时绑定的ponlynomially;但是，由于n具有哈密顿循环的决定是G - 完全决策问题，除非G成立，否则这是不可能的。

注意：这种方法被称为“差距创建”，因为实例的转换方式使得

的目标值存在差距。
1. yes-instances的最佳解决方案;
2. yes-instances的次优解决方案和no-instances的可行解决方案。