有谁能告诉我哪个是找到大小为N x N的矩阵的行列式值的最佳算法？
答案 0 :(得分：27)
Here是一个广泛的讨论。
有很多算法。
一个简单的方法是采用LU decomposition。然后，因为
det M = det LU = det L * det U
且L和U都是三角形，行列式是L和U的对角元素的乘积。那是O(n^3)。存在更有效的算法。
答案 1 :(得分：9)
找到nxn矩阵的行列式的最简单方法（并且不是坏方法）是通过行减少。通过记住关于决定因素的一些简单规则，我们可以用以下形式解决：
det（ A ）=α* det（ R ），其中 R 是原始矩阵的行梯队形式 A ，α是一些系数。
以行梯形形式查找矩阵的行列式非常简单;你只需找到对角线的产物。解决原始矩阵 A 的行列式然后归结为计算α，因为您发现行梯形 R 。
有关简单定义，请参阅此link 注意：并非所有定义都需要1个前导条目，并且此算法不需要。
交换行，添加另一行的倍数等
如果 B 是通过将一行 A 乘以某个非零常数ß获得的矩阵，那么
det（ B ）=ß* det（ A ）
如果 B 是通过交换两行 A 获得的矩阵，那么
det（ B ）= -det（ A ）
如果 B 是通过将一行的倍数添加到 A 中的另一行而获得的矩阵，则
det（ B ）= det（ A ）
请注意，在大多数情况下，你可以找到决定因素，只有规则3（当我的A的对角线没有零时，我相信），并且在所有情况下只有规则2和3.规则1对人类有用在纸上做数学，试图避免分数。
（我做了不必要的步骤来更清楚地演示每条规则）
| 2 3 3 1 |
A=| 0 4 3 -3 |
| 2 -1 -1 -3 |
| 0 -4 -3 2 |
R2 <-> R3, -α -> α (Rule 2)
| 2 3 3 1 |
-| 2 -1 -1 -3 |
| 0 4 3 -3 |
| 0 -4 -3 2 |
R2 - R1 -> R2 (Rule 3)
| 2 3 3 1 |
-| 0 -4 -4 -4 |
| 0 4 3 -3 |
| 0 -4 -3 2 |
R2/(-4) -> R2, -4α -> α (Rule 1)
| 2 3 3 1 |
4| 0 1 1 1 |
| 0 4 3 -3 |
| 0 -4 -3 2 |
R3 - 4R2 -> R3, R4 + 4R2 -> R4 (Rule 3, applied twice)
| 2 3 3 1 |
4| 0 1 1 1 |
| 0 0 -1 -7 |
| 0 0 1 6 |
R4 + R3 -> R3
| 2 3 3 1 |
4| 0 1 1 1 | = 4 ( 2 * 1 * -1 * -1 ) = 8
| 0 0 -1 -7 |
| 0 0 0 -1 |
答案 2 :(得分：7)
如果您进行了初步研究，您可能会发现，当N> = 4时，矩阵行列式的计算变得非常复杂。关于算法，我会指向Wikipedia article on Matrix determinants，特别是“算法实现”部分。
根据我自己的经验，您可以在现有的矩阵库中轻松找到LU或QR分解算法，例如Alglib。算法本身并不是很简单。
答案 3 :(得分：0)
我对LU分解并不太熟悉，但我知道为了获得L或U，你需要使初始矩阵为三角形（U为上三角形或L为下三角形）。然而，一旦你得到一些nxn矩阵A的三角形矩阵并假设你的代码使用的唯一操作是Rb - k * Ra，你可以从i = 0求解det（A）=ΠT（i，i）到n（即det（A）= T（0,0）x T（1,1）x ... x T（n，n））对于三角矩阵T.检查此链接以查看我在说什么关于。 http://matrix.reshish.com/determinant.php