Question

在最近的一次考试中，我们获得了一个函数，用于计算未排序的ArrayList中出现的双精度数（不是原始double，但项目出现两次的次数）。

我正确地确定Big O复杂度为O（N ^ 2），但只是部分信用，因为我错误地确定了完整的复杂性。功能如下：

public static <T> int countDoubles(ArrayList<T> list, int index, Comparator<? super T> cmp) {
    if (index >= list.size())
        return 0;
    int count = 0;
    for (int i = index + 1; i < list.size(); i++) {
        if (cmp.compare(list.get(index), list.get(i)) == 0)
            count++;
    }
    return count + countDoubles(list, index + 1, cmp);
}

在他刚刚发布的考试解决方案中，他给出了这样的解释：

输入集合中有N个项目，该方法会自行调用   一遍又一遍地使用减少步骤，产生新的索引N次   直到它到达基本情况（收集的结尾）。对于每一个   递归框架有一个for循环，可以在一个较少的元素上工作   每一帧中的集合反复出现，直到它结束   集合。所以有N个递归调用和N -1步骤   第一次打电话，N-2为第二次，N-3为第三次，依此类推   到达数组的末尾。这种行为有二次增长   上限复杂度的术语，因为它将呈现以下内容   表达式：

T（N）=（N-1）+（N-2）+（N-3）+ ... + 1 = N（N-1）/ 2 =（（N ^ 2）/ 2） - （N / 2）   = O（N ^ 2）

为了正确理解这一点，我尝试绘制一个大小为10的简单数组，每次将其检查的大小减少一个。

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                           []

计算递归级别有意义N。计算每个元素得出9 + 8 ... = 45考虑到100（N级递归* N个元素）是100，我不明白N/2来自哪里，更不用说((N^2)/2) - (N/2)了。

任何解释都非常感谢，因为我一直在寻找过去的一个月，似乎无法完全掌握我所缺少的东西。谢谢。

Answer 1

1到M的整数之和为((M+1) * M) / 2。这只是一个数学事实（通常通过归纳证明）。如果你不相信，试试一些例子。

算法的第一次传递执行N-1 compare s，每个递归级别少一compare，直到最后一级递归为1 compare。因此，比较的总数（对于所有递归级别）是从1到N-1的整数之和。在公式中用N-1代替M会将比较的总数作为(N * (N-1)) / 2。

从那里，它只是代数

(N * (N-1)) / 2 = (N * N - N) / 2 = ((N^2) / 2) - (N / 2)

将其分解的原因是因为big-O只关心具有最大指数的N。当然，big-O也不关心常量。所以你扔掉了(N / 2)并忽略了/ 2，答案是O（ N ^ 2 ），这是最大的一个......'

好吧，别担心我对此事的看法，就是这样。

计算大O复杂度

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