Question

如果someWork(..)完成i次操作，此循环的Big-O是多少？随着someWork(..)增加，算法 i会更有效。如何用sigma表示法表示解决方案？

i <--2 while (i < n) someWork (..) i <-- power (i,2) done

首先，i <-- power (i,2) O(log n)和someWork (..)似乎也是O(log n)，因为随着i的增加，它会更有效。将这两种复杂性相乘以获得O((log n)²)。确认？

Answer 1

在循环的每一轮中，2的指数将加倍。因此，在k周期内，数字i将为2^{2^k}。只要2^{2^k} < n成立，循环就会继续，这相当于
k < log log n。确切地说它是log₂ log₂ n，但是由于所有logarthms对于常数因子都是相等的，所以我只写log log n。

如果someWork()在O(2^{2^k})轮次中进行了k次操作，您将获得完全复杂的

O( 2 + 2² + 2^2² + 2^2³ + ... + 2^{2^{log log n}} )

这简化为O(2 ⋅ 2^{2^{log log n}} ) = O(n)。

要查看简化，请查看以下内容：
数字2 + 2² + 2⁴ + 2⁸可以二进制形式写成 100 010 110。所以你可以看到

2 + 2^2¹ + 2^2² + ... + 2^{2^k} < 2 ⋅ 2^{2^k}

成立，因为它等于100 010 110 < 1 000 000 000。

修改：

Big-O Sigma表示法

1 个答案: