Question

我希望使用线性编程来解决逻辑中的以下描述。在下面的示例中，n1, n2, n3, b1, b2, b3是布尔变量。

目标是尽量减少c1。

以下是约束：

约束1：(（n1==n2 xor n3） && c1==2 && b1 ) || ( (n1== n2 or n3) && c1==1 && b2 ) || (( n1 == n2 and n3) 1&& c1==3 && b3)

约束2：n1 && n2== not n3

约束3：only one of b1, b2, b3 is true

我是否可以将这些逻辑约束编码为线性编程工具（如Gurobi或lpsolve）所需的整数约束？或者是否有任何工具可以使用布尔约束？

感谢。

Answer 1

可以使用混合整数编程（不是线性编程）但是很麻烦。让我们从简单的开始：

约束2 ：

n1 + n2 = 1 - n3

约束3 ：

b1 + b2 + b3 = 1  (if at most one of them is true then change = to <=)

约束1 ：

约定：我使用y来表示布尔变量，使用z来表示连续的非负变量。我还假设&&和AND以及||和OR之间没有区别。

诀窍是将其分解成碎片并将每个碎片定义为单独的变量..

y1 := n1==n2 --> (（y1 xor n3） && c1==2 && b1 ) || ( (y1 or n3) && c1==1 && b2 ) || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)

y1 >= 1 - (n1 + n2)
y1 >= (n1 + n2) - 1
y1 <= 2 - 2n1 +  n2
y1 <= 2 - 2n2 + n1

y2 := y1 xor n3 --> (y2 && c1==2 && b1 ) || ( (y1 or n3) && c1==1 && b2 ) || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)

y2 <= y1 + x3
y2 >= y1 - x3
y2 >= x3 - y1
y2 <= 2 - y1 - x3

y5 := c1==2 --> (y2 && y5 && b1 ) || ( (y1 or n3) && c1==1 && b2 ) || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)

让epsilon > 0成为预定义的容差（如果2 - epsilon <= c1 <= 2 + epsilon然后c1=2）和M是一个大数字（可能是c1的上限）：

z3 >= c1 - 2 + epsilon*y3;  z3 >= 0
z4 >= 2 - c1 + epsilon*y4;  z4 >= 0
z3 <= My3
z4 <= My4
y3 + y4 + y5 = 1

y6 := y2 && y5 && b1 --> y6 || ( (y1 or n3) && c1==1 && b2 ) || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)

y6 <= y2
y6 <= y5
y6 <= b1
y6 >= y2 + y5 + b1 - 2

y7 := y1 or n3 --> y6 || ( y7 && c1==1 && b2 ) || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)

y7 >= y1
y7 >= n3
y7 <= y1 + n3

y10 := c1 == 1 --> y6 || ( y7 && y10 && b2 ) || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)

z8 >= c1 - 1 + epsilon*y8;  z8 >= 0
z9 >= 1 - c1 + epsilon*y9;  z9 >= 0
z8 <= My8
z9 <= My9
y8 + y9 + y10 = 1

y11 := y7 && y10 && b2 --> y6 || y11 || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)

y11 <= y7
y11 <= y10
y11 <= b2
y11 >= y7 + y10 + b2 - 2

假设1&&是拼写错误，实际上是&&，

y12 := ( y1 and n3) --> y6 || y11 || (y12 && c1==3 && b3)

y12 <= y1
y12 <= n3
y12 >= y1 + n3 - 1

y15 := c1==3 --> y6 || y11 || (y12 && y15 && b3)

z13 >= c1 - 3 + epsilon*y13;  z13 >= 0
z14 >= 3 - c1 + epsilon*y14;  z14 >= 0
z13 <= My13
z14 <= My14
y13 + y14 + y15 = 1

y16 := y12 && y15 && b3 --> y6 || y11 || y16

y16 <= y12
y16 <= y15
y16 <= b3
y16 >= y12 + y15 + b3 - 2

最后，y6 || y11 || y16

y6 + y11 + y16 >= 1

我希望这会有所帮助。为方便起见，我在下面提供了完整的数学模型。

数学模型

      min c1 
s.t.  n1 + n2 = 1 - n3
      b1 + b2 + b3 = 1
      y1 >= 1 - (n1 + n2)
      y1 >= (n1 + n2) - 1
      y1 <= 2 - 2n1 +  n2
      y1 <= 2 - 2n2 + n1
      y2 <= y1 + x3
      y2 >= y1 - x3
      y2 >= x3 - y1
      y2 <= 2 - y1 - x3
      z3 >= c1 - 2 + epsilon*y3;  z3 >= 0
      z4 >= 2 - c1 + epsilon*y4;  z4 >= 0
      z3 <= My3
      z4 <= My4
      y3 + y4 + y5 = 1
      y6 <= y2
      y6 <= y5
      y6 <= b1
      y6 >= y2 + y5 + b1 - 2
      y7 >= y1
      y7 >= n3
      y7 <= y1 + n3
      z8 >= c1 - 1 + epsilon*y8;  z8 >= 0
      z9 >= 1 - c1 + epsilon*y9;  z9 >= 0
      z8 <= My8
      z9 <= My9
      y8 + y9 + y10 = 1
      y11 <= y7
      y11 <= y10
      y11 <= b2
      y11 >= y7 + y10 + b2 - 2
      y12 <= y1
      y12 <= n3
      y12 >= y1 + n3 - 1
      z13 >= c1 - 3 + epsilon*y13;  z13 >= 0
      z14 >= 3 - c1 + epsilon*y14;  z14 >= 0
      z13 <= My13
      z14 <= My14
      y13 + y14 + y15 = 1
      y16 >= y12
      y16 >= y15
      y16 >= b3
      y16 >= y12 + y15 + b3 - 2
      y6 + y11 + y16 >= 1
      y1, ..., y16, b1, b2, b3, n1, n2, n3 binary
      z3, z4, z8, z9, z13, z14 >= 0

顺便说一句，如果您可以访问lpsolve和Gurobi，请务必选择Gurobi。它是市场领导者，lpsolve的表现与大多数复杂问题相去甚远。

<强>更新

将此模型放入解算器后，我得到解c1 = 1和

n1 = 1
n2 = 1
n3 = 1
b1 = 0
b2 = 1
b3 = 0

哪个有意义：c1 == 1或c2 == 2或c3 == 3第3条保持为真，案例c1=1是最小可能的。插入其他变量的值，我们可以看到满足所有三个约束。

Answer 2

您的问题似乎结构非常有限，因此解决方案应该更容易。显然c1必须是1,2或3.

如果（（n1 == n2或n3）＆amp;＆amp; b2）有一个解，那么c1 = 1.
否则，如果n1 == n2 xor n3）＆amp;＆amp; b1）有一个解决方案然后c1 = 2。
否则，如果（（n1 == n2和n3）＆amp;＆amp; b3）有一个解，那么c1 = 3.（在原始问题中有一个错误，其中有一个假的1）。
否则，没有解决方案。

约束3很容易，因为b1，b2和b3中的每一个只使用一次：

如果（n1 == n2或n3）有一个解，那么c1 = 1，b2 = 1，b1 = b3 = 0.
否则，如果（n1 == n2 xor n3）有一个解，那么c1 = 2，b1 = 1，b2 = b3 = 0.
否则，如果（n1 == n2和n3）有一个解，则c1 = 3，b3 = 1，b1 = b2 = 0.
否则，没有解决方案。

约束2意味着n3可以从n1和n2计算：n3 = not（n1和n2），所以你需要做的就是尝试n1和n2的四种组合，为每种组合计算n3，然后检查那些条件。无需线性编程或整数编程。

Answer 3

我认为你可以通过在约束编程系统中表达它来解决它，例如GECODE或Choco。检查出来 - 有很多例子可以帮助你入门。

如何使用线性编程来解决逻辑约束

3 个答案: