Question

我有一个算法

R(N)
{
    if(n<=2) return n;
    else
        sum=0;
        for i=1 to n-2
             sum+=(n-1)*R(i)
     return sum;
}

我想得到R（n）执行的乘法运算次数的重现。如果

T(n)=0 for n<=2

对于n> 2的T（n）是什么？

此外，如何显示M（n）复杂度的指数下限？

Answer 1

1）对于n> 2：
T(n) = sum(f(i) + 1 for i from 1 to n - 2) = n - 2 + sum(f(i) for i from 1 to n - 2) 第一个等式是正确的，因为R(1), R(2), ..., R(n - 2) 被递归地调用，并且执行一次乘法每次通话后。

2）指数下界的证明：

a）假设g（i）是这样一个序列：   g(0) = 0
  g(1) = 1
  g(2) = 1
  g(3) = 1
  g(i) = g(i - 2) + g(i - 3) for i >= 4
  然后g(i) <= R(i + 3)为任何有效的i，因为   通过删除g(i)和n - 2获取g(1), g(2),...,g(i - 4)的公式   R的递归公式的右侧（并且所有术语都是非负的）。

b）另一方面，g(i) >= f(i / 2)，其中f(i)是斐波纳契数列（这里我假设f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 1等等。）证明：
1）基本情况：对于i <= 4，这种不等式成立（可以简单地检查它） 2）归纳： g(i) = g(i - 2) + g(i - 3) >= f((i - 2) / 2) + f((i - 3) / 2) >= f(i / 2 - 1) + f(i / 2 - 2) = f(i / 2)。

c）因此，f(i) <= g(i) <= R(i + 3)因此R受Fibonacci序列的限制。 Fibonacci序列呈指数增长！

确定算法乘法次数的递归关系

1 个答案: