为什么这是成本？

Question

Quicksort的算法是：

Quicksort(A,p,r)
      if p<r then
         q<- partition(A,p,r)
         Quicksort(A,p,q-1)
         Quicksort(A,q+1,r)

根据我的说明，Quicksort（A，1，n）的成本是T（n）= T（q）+ T（n-q）+分割成本。

为什么成本是这样而不是：T（n）= T（q-1）+ T（n-q）+分配成本？

为什么最坏情况下的成本T（n）= T（n-1）+Θ（n）？

Answer 1

我对第二个问题的答案更有信心。

在最坏的情况下，枢轴总是可以变成阵列中的最小数字（或最高数字）。在这种情况下，分开的阵列的长度分别为n-1和0。因此，递归关系应为：

T(n)= T(n-1)+T(0) + Work done for partition
    = T(n-1) + 0 + O(n)

例如，在最坏的情况下，如果数组最初按升序排序，并且您决定始终选择第一个元素作为枢轴。

Initial Array: {1, 2, 3, 4, 5}
Pivot Element: 1.
Partitioned arrays: {} and {2,3,4,5}
Next pivot element: 2
Partitioned arrays: {} {3,4,5}
...

在这里你可以看到，在每个分区，问题的大小只减少1而不是减半。

Hence T(n) = T(n-1) + Work done for partitioning( O(n) )

Answer 2

1. 执行时间复杂度分析时，仅考虑具有最高指数的条款。这是因为当输入变大时，只有具有最高指数的术语仍然相关。例如：O(0.0001n^3 + 0.002n^2 + 0.1n + 1000000) = O(n^3)。它遵循T(q-1) = T(q)，因为-1与q的大值无关。

2. 我不确定您的笔记是否完全准确。 user1990169已经很好地回答了为什么一般的Quicksort具有O(n^2)的最差情况时间复杂度，但实际上可能花费O(n)时间来确定未排序的n元素数组的中位数，这意味着我们总是可以在每次迭代中选择枢轴的中值（最佳值）。 T(n)=T(n-1)+Θ(n)的时间复杂度可能来自一个所有元素具有相同值的数组，在这种情况下，根据实现，除了pivot之外的所有元素都可以放入 LEFT 分区或 RIGHT 分区。但是，通过一些巧妙的实现，即使这样也可以避免。因此，T(n)=T(n-1)+Θ(n)的复杂性分析可能来自Quicksort的特定实现，而不是最佳实现。