边缘权重最小的路径

Question

我们说我们有一个有向的非负加权图。

我们必须在（u，v）之间找到最低成本路径。 路径的成本定义为路径包含的第二最昂贵的边缘的最高成本。

以下是一个例子。

包含4个节点和4个边的图：

• 从1到2，成本为3
• 从1到3，费用为7
• 从2到3，成本为5
• 从3到4，费用为2

1到4之间的最佳路径应为1 - 3 - 4，总成本为2（成本为2和7，第二个最高为2）。

Dijkstra标准SSSP（重建路径并找到第二高边缘）显然不起作用。 我在MST上想过（应该没事），但不能保证能够覆盖最佳路径（u，v）。

Answer 1

您可以对答案进行二分搜索（按照其重量对边缘进行排序） 对于固定答案c，让我们使用权重＆gt;调用边缘。 c重物和其他边缘光。
因此，您需要检查的是，是否存在最多1个重边的路径。您可以通过为轻边分配0成本，为重1分配0并运行0-1 bfs来实现。如果距离<= 1，则可以获得成本最多为c的路径。 时间复杂度为O（E log E）。

Answer 2

对于足够密集的图，我们可以得到O（E + V log V），它是o（E log E）。使用具有Fibonacci堆的Dijkstra，计算两个最大权重（与第二个最大权重相对）的最短路径树，一个从根u向叶向导，一个从根向向根v。对于每个边s-> t，考虑由从u到s的最大权重最短路径，边缘s-> t以及从t到v的最大权重最短路径组成的路径，其第二个最大权重是通过取最大值来限制的 - ＆gt; s和t-＆gt; v段。

Answer 3

考虑二元搜索以获得最佳成本。对所有边的权重进行排序，并搜索满足条件的最小值X：

There is a u -> v path which has at most one edge with weight greater than X.

如何检查病情？对于给定的X：

1. 从u运行DFS，并使用最多U的边缘找到u可从X到达的顶点集v。如果U位于V，则条件已满足。

2. 否则，请根据v与U中的DFS设置{<1}}。

3. 当且仅当在V中存在一个顶点且O(E log E)中存在其他顶点的边时，才满足条件。

时间复杂度：{{1}}。